2.6.問題2
2.6.P2
\(A, B \in M_{n,m}\) がユニタリ合同で同時対角化可能であるとする。
すなわち、ユニタリ行列 \(X \in M_n\) および \(Y \in M_m\) が存在して、\(X^* A Y = \Sigma\)、\(X^* B Y = M\) が対角行列になるとする。
このとき、\(AB^*\) および \(B^*A\) が正規行列であることを示せ。
正規行列
複素数成分の正方行列\(M\)が正規行列であるとは
M^*M=MM^*
を満たす行列の事。
解答例
仮定よりユニタリ行列 \(X \in M_n\)、\(Y \in M_m\) が存在して
\begin{align}
X^*AY&=\Sigma \notag \\
X^*BY&=M \notag
\end{align}が対角行列です。ここで \(\Sigma\) と \(M\) は対角行列です。
1. \(AB^*\) が正則であることの証明
\begin{align}X^*AY&=\Sigma \notag \\
(X^*BY)^* &= M^* \notag
\end{align}なので
\begin{align}
X^*(AB^*)X&=X^*A(YY^*)B^*X \notag \\
&=(X^*AY)(X^*BY)^* \notag \\
&= \Sigma M^* \notag
\end{align}
です。
したがって、\(AB^*\) はユニタリ共役で \(\Sigma M^*\) に等しいため、正規性は \(\Sigma M^*\) が正規であることと同値です。
2. \(\Sigma M^*\) の正規性
\(\Sigma, M\) は対角行列なので、各対角成分を \(\sigma_i, \mu_i\) とすると
\begin{align}
(\Sigma M^*) (\Sigma M^*)^*
&=\operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) \operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) ^* \notag \\
&=\operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) \operatorname{diag}(\mu_i \sigma_i^* ) \notag \\
&=\operatorname{diag}(\,|\sigma_i|^2 |\mu_i|^2\,) \notag \\
&=\operatorname{diag}(\mu_i \sigma_i^* ) \operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) \notag \\
&=\operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*)^* \operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) \notag \\
&=(\Sigma M^*)^* (\Sigma M^*) \notag
\end{align}なので,
(\Sigma M^*) (\Sigma M^*)^* = (\Sigma M^*)^* (\Sigma M^*)
です。
よって \(\Sigma M^*\) は正規行列です。
したがって \(AB^*\) も正規です。
3. \(B^*A\) の場合
同様にして
Y^*(B^*A)Y=(X^*BY)^*(X^*AY) = M^*\Sigma
を得ます。これも対角行列の積なので、同様の議論により \(M^*\Sigma\) は正規です。
したがって \(B^*A\) も正規です。
結論
以上より、
AB^* \quad \text{および} \quad B^*Aは正規行列であることが示されました。∎
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