[行列解析2.6.p2]ユニタリ合同同時対角化と正規性

2.6.P2

2.6.問題2

\(A, B \in M_{n,m}\) がユニタリ合同で同時対角化可能であるとする。

すなわち、ユニタリ行列 \(X \in M_n\) および \(Y \in M_m\) が存在して、\(X^* A Y = \Sigma\)、\(X^* B Y = M\) が対角行列になるとする。

このとき、\(AB^*\) および \(B^*A\) が正規行列であることを示せ。

正規行列

複素数成分の正方行列\(M\)が正規行列であるとは

M^*M=MM^*

を満たす行列の事。

ユニタリ合同により同時に対角化できるという仮定から、\( A \) と \( B \) は共通のユニタリ行列による変換で対角行列に帰着できる。

正規性はユニタリ共役で不変であるため、\( AB^* \) や \( B^*A \) をユニタリ共役した行列が正規であるかを調べれば十分である。対角行列の積の形に注目する。

仮定よりユニタリ行列 \(X \in M_n\)、\(Y \in M_m\) が存在して

\begin{align} X^*AY&=\Sigma \notag \\ X^*BY&=M \notag \end{align}

が対角行列である。ここで \(\Sigma\) と \(M\) は対角行列。

\begin{aligned} A&=X \Sigma Y^* \\ B &=X M Y^* \end{aligned}

\begin{align}X^*AY&=\Sigma \notag \\ (X^*BY)^* &= M^* \notag \end{align}

なので

\begin{align} X^*(AB^*)X&=X^*A(YY^*)B^*X \notag \\ &=(X^*AY)(X^*BY)^* \notag \\ &= \Sigma M^* \notag \end{align}

である。

したがって、\(AB^*\) はユニタリ共役で \(\Sigma M^*\) に等しいため、正規性は \(\Sigma M^*\) が正規であることと同値である。

\begin{aligned} (AB^*)^*(AB^*) &=((X \Sigma Y^*)( Y M^* X^*))^*((X \Sigma Y^*)( Y M^* X^*))\\ &=(X \Sigma M^* X^*)^*(X \Sigma M^* X^*)\\ &=(X M \Sigma^* X^*)(X \Sigma M^* X^*)\\ &=X M \Sigma^* \Sigma M^* X^*\\ &=X (\Sigma M^*)^* (\Sigma M^*) X^*\\ \; \\ (AB^*)(AB^*)^* &=((X \Sigma Y^*)( Y M^* X^*))((X \Sigma Y^*)( Y M^* X^*))^*\\ &=(X \Sigma M^* X^*)(X \Sigma M^* X^*))^*\\ &=(X \Sigma M^* X^*)(X M \Sigma^* X^*)\\ &=X \Sigma M^* M \Sigma^* X^*\\ &=X (\Sigma M^*) (\Sigma M^*)^* X^* \end{aligned}

\(\Sigma, M\) は対角行列なので、各対角成分を \(\sigma_i, \mu_i\) とすると

\begin{align} (\Sigma M^*) (\Sigma M^*)^* &=\operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) \operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) ^* \notag \\ &=\operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) \operatorname{diag}(\mu_i \sigma_i^* ) \notag \\ &=\operatorname{diag}(\,|\sigma_i|^2 |\mu_i|^2\,) \notag \\ &=\operatorname{diag}(\mu_i \sigma_i^* ) \operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) \notag \\ &=\operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*)^* \operatorname{diag}(\sigma_i \mu_i ^*) \notag \\ &=(\Sigma M^*)^* (\Sigma M^*) \notag \end{align}

なので,

(\Sigma M^*) (\Sigma M^*)^* = (\Sigma M^*)^* (\Sigma M^*)

である。

よって \(\Sigma M^*\) は正規行列です。

したがって \(AB^*\) も正規です。

一般に対角行列は正規行列である。

同様にして

Y^*(B^*A)Y=(X^*BY)^*(X^*AY) = M^*\Sigma

を得ます。これも対角行列の積なので、同様の議論により \(M^*\Sigma\) は正規である。

したがって \(B^*A\) も正規である。

以上より、

AB^* \quad \text{および} \quad B^*A

は正規行列であることが示された。