2.6.P19
2.6.問題19
\(U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix} \in M_{k+\ell}\) をユニタリ行列とし、\(U_{11} \in M_k, U_{22} \in M_\ell\)、かつ \(k \le \ell\) とする。ブロック行列の特異値（非増加順）は次の関係式を満たす：
\sigma_i(U_{11}) = \sigma_i(U_{22}), \quad \\
\sigma_i(U_{12}) = \sigma_i(U_{21}) = \sqrt{1 - \sigma_{k-i+1}^2(U_{11})}, \quad \\
i = 1, \ldots, k
また、\(\sigma_i(U_{22}) = 1\) が \(i = k+1, \ldots, \ell\) で成り立つ。特に、\(|\det U_{11}| = |\det U_{22}|\) であり、\(\det U_{12} U_{12}^* = \det U_{21}^* U_{21}\) が成り立つ。
これらの結果が (2.1.10) を示す理由を説明せよ。
(2.1.10)
ユニタリ行列 \( U \in M_n \) を次のように分割する：
U = \begin{bmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{bmatrix}ただし \( U_{11} \in M_k \) とする。
このとき、次が成り立つ：
\operatorname{rank}(U_{12}) = \operatorname{rank}(U_{21}), \quad \operatorname{rank}(U_{22}) = \operatorname{rank}(U_{11}) + n - 2k.特に、\( U_{12} = 0 \) であることと \( U_{21} = 0 \) であることは同値であり、その場合 \( U_{11} \) および \( U_{22} \) はユニタリ行列である。
ヒント
ユニタリ性 \(U^*U = I\) から各ブロック間に関係式が成り立つ。
特に \(U_{11}^*U_{11} + U_{21}^*U_{21} = I_k\)、 \(U_{12}^*U_{12} + U_{22}^*U_{22} = I_\ell\) を用いると、特異値の関係式から階数に関する情報が直接得られる。
特異値が 0 である個数が階数を決定することに注意する。
解答例
\(U \in M_{k+\ell}\) をユニタリとする。仮定より
\sigma_i(U_{11}) = \sigma_i(U_{22}), \qquad i=1,\ldots,k
および
\sigma_i(U_{12}) = \sigma_i(U_{21})
= \sqrt{1-\sigma_{k-i+1}^2(U_{11})},
\qquad i=1,\ldots,k
が成り立つ。また
\sigma_i(U_{22}) = 1,
\qquad i=k+1,\ldots,\ell
である。
まず特異値が 0 である個数に注目する。特異値は非負であり、0 の個数は階数を決定する。上の式より
\sigma_i(U_{12}) = 0
\iff
\sigma_{k-i+1}(U_{11}) = 1
である。同様に \(U_{21}\) についても同じ関係が成り立つ。したがって 0 特異値の個数が一致し
\operatorname{rank}(U_{12})
= \operatorname{rank}(U_{21})
が従う。
次に \(U_{22}\) の特異値は、最初の \(k\) 個が \(U_{11}\) と一致し、残り \(\ell-k\) 個は 1 である。したがって
\operatorname{rank}(U_{22})
= \operatorname{rank}(U_{11}) + (\ell-k)
である。ここで \(n=k+\ell\) であるから
\ell-k = n-2k
となり、したがって
\operatorname{rank}(U_{22})
= \operatorname{rank}(U_{11}) + n - 2k
が得られる。
特に、\(U_{12}=0\) であることはすべての特異値が 0 であることを意味し、上の関係式より \(U_{21}=0\) と同値である。このとき \(U_{11}\) と \(U_{22}\) の特異値はすべて 1 であるから、両者はユニタリ行列となる。
以上により (2.1.10) が従う。
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