[行列解析2.6.p19]

2.6.問題19

2.6.P19

\(U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix} \in M_{k+\ell}\) をユニタリ行列とし、\(U_{11} \in M_k, U_{22} \in M_\ell\)、かつ \(k \le \ell\) とする。ブロック行列の特異値（非増加順）は次の関係式を満たす：

\sigma_i(U_{11}) = \sigma_i(U_{22}), \quad \\ \sigma_i(U_{12}) = \sigma_i(U_{21}) = \sqrt{1 - \sigma_{k-i+1}^2(U_{11})}, \quad \\ i = 1, \ldots, k

また、\(\sigma_i(U_{22}) = 1\) が \(i = k+1, \ldots, \ell\) で成り立つ。特に、\(|\det U_{11}| = |\det U_{22}|\) であり、\(\det U_{12} U_{12}^* = \det U_{21}^* U_{21}\) が成り立つ。これらの結果が (2.1.10) を示す理由を説明せよ。