[行列解析2.6.p18]

2.6.問題18

\(A \in M_n\) が射影行列で、\(\mathrm{rank}(A) = r\) とする。

(a) \(A\) がユニタリ合同で

\begin{pmatrix} I_r & X \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix}

となることを示せ（1.1.P5参照）。

(b) \(X = V \Sigma W^*\) を特異値分解とする。\(A\) は \(V \oplus W\) を用いて

\begin{pmatrix} I_r & \Sigma \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix}

にユニタリ合同であることが示される。このとき、\(A\) の特異値は \((I_r + \Sigma \Sigma^T) \oplus 0_{n-r}\) の対角成分であり、\(\sigma_1, \ldots, \sigma_g\) を 1 より大きい特異値とする。

(c) \(A\) はユニタリ合同で次の形式にあることを示せ：

0_{n-r-g} \oplus I_{r-g} \oplus \begin{pmatrix} 1 & (\sigma_1^2 - 1)^{1/2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus \cdots \\ \quad \quad \quad \quad \cdots \oplus \begin{pmatrix} 1 & (\sigma_g^2 - 1)^{1/2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}