2.6.問題15
2.6.P15
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) の固有値を \(|\lambda_1| \ge \cdots \ge |\lambda_n|\) の順に、特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) の順に並べる。
(a)
\sum_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^2 = \mathrm{tr}(A^* A) = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(b)
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 \le \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2等号成立は \(A\) が正規である場合に限る（シュールの不等式）。
(c) \(\sigma_i = |\lambda_i|\) が全ての \(i = 1, \ldots, n\) で成り立つことと \(A\) が正規であることは同値である。
(d) \(|a_{ii}| = \sigma_i\) が全ての \(i\) で成り立つ場合、\(A\) は対角行列。
(e) \(A\) が正規で \(|a_{ii}| = |\lambda_i|\) が全ての \(i\) で成り立つ場合、\(A\) は対角行列である。
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