2.6.問題14
2.6.P14
\(A \in M_n\) を与える。
(a) \(A\) が正規であり、スペクトル分解 \(A = U \Lambda U^*\) があり、\(U\) はユニタリ、\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1} |\lambda_1|, \ldots, e^{i\theta_n} |\lambda_n|)\) とする。ここで \(D = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n})\)、\(\Sigma = \mathrm{diag}(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|)\) とする。なぜ \(A = (UD)\Sigma U^*\) が \(A\) の特異値分解であり、特異値が固有値の絶対値であるかを説明せよ。
(b) \(s_1, \ldots, s_d\) を \(A\) の異なる特異値とし、\(A = V \Sigma W^*\) を特異値分解とする。ここで \(V, W \in M_n\) はユニタリ、\(\Sigma = s_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d I_{n_d}\) とする。\(A\) が正規であることと、\(\Sigma\) に対応したブロック対角ユニタリ行列 \(U = U_1 \oplus \cdots \oplus U_d\) が存在して \(V = WU\) となることは同値であることを示せ。
(c) \(A\) が正規で異なる特異値を持つ場合、特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) において、なぜ \(V = W D\) が成り立つかを説明せよ。ここで \(D\) は対角ユニタリ行列である。異なる特異値の仮定は \(A\) の固有値について何を意味するか？
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