2.6.7
系 2.6.7.
\(A \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) をランク \(r = \mathrm{rank}(A)\) をもつ実行列とする。このとき、\(A = P \Sigma Q^T\) と表すことができ、ここで \(P \in M_n(\mathbb{R})\) および \(Q \in M_m(\mathbb{R})\) は実直交行列、\(\Sigma \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) は非負対角行列で、形式は (2.6.3.1) または (2.6.3.2) に従う。
証明.
(2.6.4) の記法を用い、与えられた特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を考える。このときユニタリ行列 \(V, W\) は必ずしも実である必要はない。
ここで
\(V \Sigma W^* = A = \overline{A} = \overline{V} \Sigma \overline{W}^*\) となるので、\(V^T V \Sigma = \Sigma W^T W\) が成り立つ。
定理 2.6.5 により、ユニタリ行列\(U_V = U_1 \oplus \cdots \oplus U_d \oplus \tilde{V} \in M_n\) および \(U_W = U_1 \oplus \cdots \oplus U_d \oplus \tilde{W} \in M_m\)
が存在して、\(\overline{V} = V U_V\) および \(\overline{W} = W U_W\) となる。
このとき \(U_V = V^* \overline{V} = \overline{V}^T \overline{V}\) および \(U_W = \overline{W}^T W\) はユニタリかつ対称であるので、\(\tilde{V}, \tilde{W}\) および各 \(U_i\) はユニタリかつ対称である。
系 2.5.20(a) により、対称ユニタリ行列 \(R_{\tilde{V}}, R_{\tilde{W}}, R_1, \ldots, R_d\) が存在して、\(R_{\tilde{V}}^2 = \tilde{V}, R_{\tilde{W}}^2 = \tilde{W}, R_i^2 = U_i\) が成り立つ。ここで
\(R_V = R_1 \oplus \cdots \oplus R_d \oplus R_{\tilde{V}}, \quad R_W = R_1 \oplus \cdots \oplus R_d \oplus R_{\tilde{W}}\)
とおくと、\(R_V\) および \(R_W\) は対称かつユニタリであり、\(R_V^{-1} = R_V^* = R_V\)、\(R_W^{-1} = R_W^* = R_W\)、\(R_V^2 = U_V\)、\(R_W^2 = U_W\) が成り立ち、さらに \(R_V \Sigma R_W = \Sigma\) となる。したがって、
\(A = \overline{V} \Sigma \overline{W}^* = V U_V \Sigma (W U_W)^* = V R_V^2 \Sigma (W R_W)^* = (V R_V)(R_V \Sigma R_W)(W R_W)^* = (V R_V) \Sigma (W R_W)^*\)
となる。ここで \(\overline{V} = V U_V = V R_V^2\) および \(\overline{W} = W U_W = W R_W^2\) であることに注意すると、\(V R_V\) および \(W R_W\) はユニタリかつ実であり、したがって両方とも実直交行列である。 □
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