定理 2.6.1.
2.6.1定理
\( A, B \in M_n \) とする。
このとき、ユニタリ行列 \( V, W \in M_n \) が存在して、\( A = V T_A W^* \)、\( B = V T_B W^* \) が成り立ち、かつ \( T_A \) と \( T_B \) はともに上三角行列となる。
さらに、\( B \) が正則であれば、\( T_B^{-1} T_A \) の主対角成分は \( B^{-1}A \) の固有値である。
証明.
\( B \) が正則であると仮定する。
(2.3.1) を用いると、\( B^{-1}A = U T U^* \) と書ける。
ここで \( U \) はユニタリ行列であり、\( T \) は上三角行列である。
次に QR 分解 (2.1.14) を用いて \( B U = Q R \) と書く。
ここで \( Q \) はユニタリ行列、\( R \) は上三角行列である。
したがって、
A = B U T U^* = Q (R T) U^*
となり、\( RT \) は上三角行列である。
また、\( B = Q R U^* \) である。
これで、\(A,B\)を同時に上三角行列にするユニタリ行列\(Q,U\)が得られた。
さらに、
B^{-1} A = U R^{-1} Q^* Q R T U^* = U T U^*
であるから、\( B^{-1}A \) の固有値は \( T \) の主対角成分である。
もし \( A, B \) がともに特異行列であれば、ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、\( 0 \lt \varepsilon \lt \delta \) のとき \( B_\varepsilon = B + \varepsilon I \) が正則となる（(1.2.17) を参照）。
このような \( \varepsilon \) に対して、ユニタリ行列 \( V_\varepsilon, W_\varepsilon \in M_n \) が存在して、\( V_\varepsilon^* A W_\varepsilon \) および \( V_\varepsilon^* B W_\varepsilon \) がともに上三角行列になることを示した。
非零スカラー列 \( \{\varepsilon_k\} \) を選んで \( \varepsilon_k \to 0 \) とし、\( \lim_{k \to \infty} V_{\varepsilon_k} = V \)、\( \lim_{k \to \infty} W_{\varepsilon_k} = W \) が存在するとする。
それぞれの極限 \( V, W \) はユニタリ行列である（(2.1.8) を参照）。
したがって、
\lim_{k \to \infty} V_{\varepsilon_k}^* A W_{\varepsilon_k} = V^* A W = T_A
\lim_{k \to \infty} V_{\varepsilon_k}^* B W_{\varepsilon_k} = V^* B W = T_B
はいずれも上三角行列である。
したがって、\( A = V T_A W^* \)、\( B = V T_B W^* \) が成り立つことが結論される。■
この定理には実数版も存在し、次の事実を用いる。
演習（上三角行列と上準三角行列の積の構造 ）
\( A, B \in M_n \)、\( A \) が上三角行列であり、\( B \) が上準三角行列であると仮定せよ。
このとき \( AB \) は \( B \) に適合した上準三角行列であることを示せ。
上準三角行列と上準三角行列の積は必ずしも上準三角行列になるとは限らない。例えば、
\(A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} , \quad B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)とすると
\(AB=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)であり、\(AB\)は上準三角行列とならない。
ヒント
上準三角行列とは、対角上に \(1\times 1\) または \(2\times 2\) のブロックをもち、それ以外の下三角部分が零である行列である。
行列積 \( AB \) の成分表示を考え、上三角行列 \( A \) の零構造が \( B \) のブロック構造を壊さないことに注目する。
上準三角行列は、\(1 \times 1 \)または\(2 \times 2 \)のブロックの組み合わせで構成されるが、その組み合わせパターンの事をブロック構造という。
解答例
\( A=[a_{ij}] \in M_n \) を上三角行列、\( B=[b_{ij}] \in M_n \) を上準三角行列とする。すなわち、ある分割により \( B \) は対角上に \(1\times 1\) または \(2\times 2\) のブロックをもち、これらのブロックより下の成分はすべて零である。
行列積 \( AB=[c_{ij}] \) の成分は \( c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \) で与えられる。ここで \( A \) が上三角行列であるから、\( a_{ik}=0 \) は \( k<i \) のときに成り立つ。したがって和は \( c_{ij}=\sum_{k=i}^n a_{ik}b_{kj} \) と書ける。
一方、\( B \) は上準三角行列であるため、\( b_{kj}=0 \) は、\( k \) が \( j \) に対応する対角ブロックより下にあるときに成り立つ。この構造は、和の中で現れる \( k \ge i \) によっても保存される。よって、\( AB \) の成分 \( c_{ij} \) は、\( B \) の零構造に従い、対応するブロックより下では零となる。
以上より、\( AB \) は \( B \) と同じ対角ブロック構造をもち、下三角部分が零である。したがって \( AB \) は \( B \) に適合した上準三角行列である。
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