2.5.問題76
2.5.P76
\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) の各成分が 0 または 1 であるとし、\( e \in \mathbb{R}^n \) を全ての成分が 1 のベクトル、\( J \in M_n(\mathbb{R}) \) を全ての成分が 1 の行列とする。ここで \( A = [c_1 \ \cdots \ c_n] \)、\(A^T = [r_1 \ \cdots \ r_n]\) と書く。
(a) \(Ae\) の成分が行和であると同時に、各行のユークリッドノルムの二乗である理由を説明せよ。同様に \(A^T e\) の成分も解釈せよ。
(b) \(A\) が正規であることと、\(Ae = A^T e\) かつ 任意の \(i \neq j\) に対して
c_i^T c_j = r_i^T r_j
が成り立つことが同値であることを示せ。
(c) \(A\) が正規であることと、補行列 \(J - A\) が正規であることが同値であることを示せ。
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