[行列解析2.5.P73]

2.5.問題73

2.5.P73 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が正規で、固有値 \(\lambda = a + ib \ (\lambda \notin \mathbb{R})\) と固有ベクトル \(x\) をもつとする。

(a) 共役複素数 \(\overline{\lambda}, \overline{x}\) も固有対であり、かつ \(x^T x = 0\) が成り立つことを示せ。

(b) \(x = u + iv\) と分解し、\(u, v\) を実ベクトルとする。このとき \(u^T u = v^T v \neq 0\)、かつ \(u^T v = 0\) であることを示せ。

(c) 次を定める：

q_1 = \frac{u}{\sqrt{u^T u}}, \quad q_2 = \frac{v}{\sqrt{v^T v}}, \quad \\ Q = [q_1 \ q_2 \ Q_1] \in M_n(\mathbb{R})

ただし \(Q\) は実直交行列である。このとき

Q^T A Q = \begin{bmatrix} B & * \\ 0 & * \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}

が成り立つことを示せ。

(d) (2.3.4b) に依存しない形で (2.5.8) の別証明を与えよ。