[行列解析2.5.P72]

2.5.問題72
行列解析の総本山

2.5.問題72

2.5.P72

行列

A_1 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}

を考える。

(a) 各行列が正規行列であり、かつその複素共役と可換であることを示せ。

(b) 各行列の固有値を求めよ。

(c) \(A_1\) が \(A_2\) とユニタリ相似である理由を説明せよ。

(d) \(A_1\) が \(A_2\) と実直交相似ではないことを示せ。

(e) \(A \in M_n\) が正規であり、かつ (2.5.17) の (a) または (b) の条件を満たすとき、\(A\) は零行列と (2.5.17.1) にある4種類のブロックの非零スカラー倍との直和に実直交相似である。どのブロックやスカラー倍が現れるかを決定するためには、固有値だけでなく \(A\) のさらなる情報が必要である理由を説明せよ。