[行列解析2.5.P7]行列 \(B^{-1}B^{*}\) と正規性の関係

2.5.P7

2.5.問題7

可逆な \(B \in M_n\) に対して \(A = B^{-1}B^{*}\) という形の行列 \(A \in M_n\) を考える（(2.1.9)参照）。

(a) \(A\) がユニタリであることと \(B\) が正規であることは同値であることを示せ。

(b) もし \(B = H N H\) の形で、\(N\) は正規、\(H\) はエルミート（いずれも可逆）であるなら、\(A\) はあるユニタリ行列に相似であることを示せ。

(a) ユニタリ行列の定義 \( A^{\ast}A = I \) を用い、\( A = B^{-1}B^{\ast} \) を代入して整理する。

(b) 正規行列はユニタリ行列で対角化できることと、相似変換の性質を用いる。

(a) \( A = B^{-1}B^{\ast} \) とする。まず \( A \) がユニタリであると仮定する。このとき

A^{\ast}A = I

が成り立つ。ここで \( A^{\ast} = (B^{-1}B^{\ast})^{\ast} = B(B^{\ast})^{-1} \) であるから

A^{\ast}A = B(B^{\ast})^{-1}B^{-1}B^{\ast}

となる。これが単位行列に等しいことは \( BB^{\ast} = B^{\ast}B \) と同値である。したがって \( B \) は正規である。

逆に \( B \) が正規であると仮定すると \( BB^{\ast} = B^{\ast}B \) が成り立つ。この関係を用いて計算すると

A^{\ast}A = I

が従い、\( A \) はユニタリである。以上より (a) が示された。

(b) \( B = HNH \) と仮定する。ただし \( N \) は正規、\( H \) は可逆なエルミート行列である。このとき

A = B^{-1}B^{\ast} = H^{-1}N^{-1}H^{-1}H N^{\ast} H

より

A = H^{-1} N^{-1} N^{\ast} H

と書ける。\( N \) は正規であるから (a) より \( N^{-1}N^{\ast} \) はユニタリ行列である。

したがって \( A \) はユニタリ行列 \( N^{-1}N^{\ast} \) に

A = H^{-1}(N^{-1}N^{\ast})H

という形で相似である。ゆえに \( A \) はあるユニタリ行列に相似であることが示された。