[行列解析2.5.P69]ブロックシフト行列の可換条件の解析

2.5.P69

2.5.問題69
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2.5.問題69

\( k \times k \) ブロック行列

M_A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k \in M_{kn}, \quad \\ A_{ij} = \begin{cases} 0 & (i \geq j) \\ I_n & (j = i+1) \end{cases}

を定める。同様に \( M_B = [B_{ij}]_{i,j=1}^k \) を定める。

さらに \( W = [W_{ij}]_{i,j=1}^k \in M_{kn} \) を \( M_A, M_B \) に適合するように分割する。

(a) もし \( M_A W = W M_B \) ならば、\( W \) はブロック上三角行列であり、かつ \( W_{11} = \cdots = W_{kk} \) であることを示せ。

(b) もし \( W \) がユニタリであり \( M_A W = W M_B \)（すなわち \( M_A = W M_B W^* \)）ならば、\( W \) はブロック対角行列であり、\( W_{11} = U \) がユニタリで、\( W = U \oplus \cdots \oplus U \) となり、さらにすべての \( i, j \) について

A_{ij} = U B_{ij} U^*

が成り立つことを示せ。

ブロック行列 \( M_A, M_B \) のさらなる性質については (4.4.P46), (4.4.P47) を参照せよ。

ヒント

行列積 \( M_A W \) と \( W M_B \) をブロックごとに比較することで、成分間の漸化関係が得られる。特に、零ブロックの位置と単位行列が現れる位置に注目することで、\( W \) の形が制限される。

解答例

まず (a) を示す。仮定より \( M_A W = W M_B \) が成り立つ。これをブロック成分で書くと、任意の \( i,j \) に対して \( \sum_{\ell=1}^k A_{i\ell} W_{\ell j} = \sum_{\ell=1}^k W_{i\ell} B_{\ell j} \) である。

\( A_{i\ell} \neq 0 \) となるのは \( \ell = i+1 \) の場合のみであり、そのとき \( A_{i,i+1} = I_n \) である。よって \( W_{i+1,j} = \sum_{\ell=1}^k W_{i\ell} B_{\ell j} \) が成り立つ。

特に \( j \le i \) のとき、右辺は \( W_{i\ell} \) と \( B_{\ell j} \) の積の和であるが、帰納的に \( W_{ij} = 0 \) が従う。したがって \( W \) はブロック上三角行列である。

次に対角成分について考える。上の関係式で \( j=i \) とすると \( W_{i+1,i} = W_{ii} B_{ii} \) であるが、左辺は零であるため \( W_{ii} B_{ii} = 0 \) が成り立つ。これをすべての \( i \) について繰り返すと、対角ブロックはすべて等しく \( W_{11} = \cdots = W_{kk} \) となる。

次に (b) を示す。仮定より \( W \) はユニタリであり、(a) によりブロック上三角行列である。ユニタリ行列が上三角であるとき、非対角成分はすべて零でなければならない。したがって \( W \) はブロック対角行列である。

さらに (a) よりすべての対角ブロックは等しいので \( W_{11} = \cdots = W_{kk} = U \) と書ける。\( W \) がユニタリであることから \( U \) もユニタリであり、 \( W = U \oplus \cdots \oplus U \) が従う。

最後に \( M_A = W M_B W^* \) をブロック成分で比較すると、任意の \( i,j \) に対して \( A_{ij} = U B_{ij} U^* \) が成り立つことが分かる。

以上により、(a)、(b) の主張はすべて示された。