2.5.P68
2.5.問題68
\( A, B \in M_n \) とし、\( B \) が正規であり、かつ \( A \) の零ベクトルがすべて \( B \) の正規固有ベクトルであると仮定する。
このとき \( AB = 0 \) であることと \( BA = 0 \) であることは同値であることを示せ。
ヒント
仮定より、\( A \) の零ベクトルはすべて \( B \) の正規固有ベクトルである。
したがって、\( A \) の核は \( B \) によって不変であることに注意し、像と核の関係から積の零性を調べる。
解答例
\( A,B \in M_n \) とし、\( B \) は正規であり、さらに \( A \) の零ベクトルがすべて \( B \) の正規固有ベクトルであると仮定する。まず \( AB = 0 \) であると仮定する。
任意のベクトル \( x \) に対し \( ABx = 0 \) が成り立つので、 \( Bx \in \ker A \) である。したがって \( \operatorname{Ran}(B) \subset \ker A \) が成り立つ。
仮定より、\( \ker A \) は \( B \) の正規固有ベクトルのみからなる部分空間である。\( B \) は正規行列であるから、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交し、\( \ker A \) は \( B \) によって不変である。
よって任意の \( y \in \ker A \) に対し \( By \in \ker A \) が成り立つ。特に、任意の \( x \) に対し \( Ax = 0 \) ならば \( BAx = 0 \) である。
一方、\( x \notin \ker A \) の場合には \( Ax \in \operatorname{Ran}(A) \) であり、先の包含関係から \( B(Ax) = 0 \) が従う。したがって \( BA = 0 \) が成り立つ。
逆に \( BA = 0 \) であると仮定する。このとき、随伴を取ると \( A^\ast B^\ast = 0 \) である。\( B \) は正規であるから \( B^\ast \) も正規であり、同様の議論を \( A^\ast \) と \( B^\ast \) に適用することで \( A^\ast B^\ast = 0 \Rightarrow B^\ast A^\ast = 0 \) が得られる。
再び随伴を取ることで \( AB = 0 \) が従う。
以上より、 \( AB = 0 \) であることと \( BA = 0 \) であることは同値である。
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