[行列解析2.5.P66]

2.5.問題66

2.5.P66

\( A \in M_n \) とする。もし \( A^2 \) が正規であれば、\( A \) を squared normal という。

知られている事実として、\( A \) が squared normal であることと、\( A \) が次のようなブロックの直和にユニタリ相似であることは同値である：

 [\lambda] \quad \text{または} \quad \tau \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \mu & 0 \end{bmatrix}, 

ただし \(\tau \in \mathbb{R}, \ \tau > 0, \ \lambda, \mu \in \mathbb{C}, \ |\mu| \lt 1\)。この直和分解はブロックの順序を除き一意である。

(2.2.8) を用いて、各 \(2 \times 2\) ブロックはユニタリ相似により次の形にできることを示せ：

 \begin{bmatrix} \nu & r \\ 0 & -\nu \end{bmatrix}, 

ただし \(\nu = \tau \sqrt{\mu} \in D_+, \ r = \tau (1 - |\mu|), \ D_+ = \{ z \in \mathbb{C} : \Re z \gt 0 \} \cup \{ it : t \in \mathbb{R}, t \geq 0 \}\)。

結論として、\( A^2 \) が正規であることと、\( A \) が次の形のブロック直和にユニタリ相似であることは同値である：

 [\lambda] \quad \text{または} \quad \begin{bmatrix} \nu & r \\ 0 & -\nu \end{bmatrix}, 

ただし \(\lambda, \nu \in \mathbb{C}, \ r \in \mathbb{R}, \ r \gt 0, \ \nu \in D_+\)。

この直和分解もブロックの順序を除き一意であることを説明せよ。

[行列解析2.5]

2.5ユニタリ相似（unitary similarity）の文脈で自然に現れる正規行列のクラスは、行列解析において広く重要な役割を果たします。正規行列には、ユニタリ行列、エルミート行列、反エルミート行列、実直交行列、実対称行列、および実反対...

am-gm.com

2025.08.27