2.5.問題61
2.5.P61
\( A \in M_n \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。
(a) 次を示せ：
\max_{i=1,\ldots,n} \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right| \\
\leq \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)} さらにこれを用いて次を導け：
\max_{i=1,\ldots,n} \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right| \\
\leq \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^*A) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)} 等号成立は \( A \) が正規行列であり、その固有値が \((n-1)c, -c, \ldots, -c\)（ただし \( c \in \mathbb{C} \)）であるときに限られる。
(b) この結果が固有値の幾何学的配置について何を意味するかを述べよ。特に \( A \) がエルミートの場合について考察せよ。
(c) 行列 \( A \) の spread を
\mathrm{spread}(A) = \max \{ |\lambda - \mu| : \lambda, \mu \in \sigma(A) \} と定義する。このとき次が成り立つことを説明せよ：
\mathrm{spread}(A) \leq 2 \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^*A) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)} さらに、\( A \) がエルミートならば
\mathrm{spread}(A) \leq 2 \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^2) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)} 下界については (4.3.P16) を参照せよ。
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