2.5.P61
2.5.問題61
\( A \in M_n \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。
(a) 次を示せ：
\max_{i=1,\ldots,n} \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right| \\
\leq \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)} さらにこれを用いて次を導け：
\max_{i=1,\ldots,n} \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right| \\
\leq \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^*A) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)} 等号成立は \( A \) が正規行列であり、その固有値が \((n-1)c, -c, \ldots, -c\)（ただし \( c \in \mathbb{C} \)）であるときに限られる。
(b) この結果が固有値の幾何学的配置について何を意味するかを述べよ。特に \( A \) がエルミートの場合について考察せよ。
(c) 行列 \( A \) の spread を
\mathrm{spread}(A) = \max \{ |\lambda - \mu| : \lambda, \mu \in \sigma(A) \} と定義する。このとき次が成り立つことを説明せよ：
\mathrm{spread}(A) \leq 2 \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^*A) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)} さらに、\( A \) がエルミートならば
\mathrm{spread}(A) \leq 2 \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^2) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)} 下界については (4.3.P16) を参照せよ。
ヒント
固有値全体を成分にもつベクトルを考え、その平均値 \( \frac{\mathrm{tr} A}{n} \) からのずれに前問の結果を適用する。
(a) では正規行列の場合に等号が成立することに注意する。
(b) では固有値が平均を中心とする円内に配置されることを幾何学的に解釈する。
(c) は spread の定義と (a) の評価を組み合わせればよい。
解答例
(a) 固有値を成分にもつベクトル \( \lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)^{\top} \in \mathbb{C}^n \) を考える。また \( e=(1,\ldots,1)^{\top} \) とおくと、\( \lambda^{\top} e = \sum_{i=1}^n \lambda_i = \mathrm{tr} A \) である。前問の結果を \( x_i=\lambda_i-\frac{\mathrm{tr} A}{n} \) に適用すると、
\max_i \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right|
\le \sqrt{\frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^n \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right|^2}
が得られる。右辺の和を展開すると、
\sum_{i=1}^n \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right|^2
= \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n}
であるから、最初の不等式が従う。
さらに一般に \( \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 \le \mathrm{tr}(A^*A) \) が成り立ち、等号は \( A \) が正規行列のときに限られる。したがって、
\max_i \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right|
\le \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^*A) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)}
が得られる。等号成立は、前問の等号条件と合わせて、\( A \) が正規行列であり、固有値が \((n-1)c,-c,\ldots,-c\)（\( c\in\mathbb{C} \)）となる場合に限られる。
(b) この結果は、すべての固有値が複素平面上で平均値 \( \frac{\mathrm{tr} A}{n} \) を中心とする半径 \( \sqrt{\frac{n-1}{n}\left( \mathrm{tr}(A^*A)-\frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n}\right)} \) の円内に含まれることを意味する。特に \( A \) がエルミート行列の場合、固有値は実数であるため、この円は実軸上の区間に対応し、固有値はその区間内に配置される。
(c) 任意の二つの固有値 \( \lambda,\mu \) に対して、 \( |\lambda-\mu| \le |\lambda-\frac{\mathrm{tr} A}{n}| + |\mu-\frac{\mathrm{tr} A}{n}| \) であるから、
\mathrm{spread}(A)
\le 2 \max_i \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right|
が成り立つ。(a) の評価を用いれば、
\mathrm{spread}(A)
\le 2 \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^*A) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)}
を得る。さらに \( A \) がエルミート行列ならば \( A^*=A \) であるから、
\mathrm{spread}(A)
\le 2 \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^2) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)}
が成り立つ。
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