[行列解析2.5.P60]

2.5.問題60

2.5.P60

\( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) を与える。

(a) \(\max_i |x_i| \leq \|x\|_2\) が成り立つ理由を説明せよ (0.6.1)。

(b) \( e = e_1 + \cdots + e_n \in \mathbb{C}^n \) を成分がすべて1のベクトルとする。もし \( x^T e = 0 \) ならば、

\max_i |x_i| \leq \sqrt{\frac{n-1}{n}} \, \|x\|_2

が成り立つことを示せ。

さらに等号成立条件は、ある \( c \in \mathbb{C} \)、ある添字 \( j \) に対して \( x = c (n e_j - e) \) となる場合に限られることを示せ。