[行列解析2.5.P52]

2.5.問題52

2.5.P52

\( A, B \in M_n \) を非特異行列とする。

行列 \( C = ABA^{-1}B^{-1} \) を \( A \) と \( B \) の乗法的交換子（multiplicative commutator）と呼ぶ。

このとき \( C = I \) であることと \( A \) と \( B \) が可換であることは同値である。

\( A \) と \( C \) が正規であり、さらに 0 が \( B \) の固有値の凸包に含まれないと仮定する。

このとき次の Marcus–Thompson 定理の証明のスケッチを詳細化せよ：

スペクトル分解 \( A = U \Lambda U^*, \ C = U M U^* \) をとる。

ただし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), \ M = \mathrm{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)\) である。

また \( B' = U^* B U = [\beta_{ij}] \) とおく。

このとき \(\beta_{ii} \neq 0\) が成り立ち、さらに

M = U^* C U = \Lambda B' \Lambda^{-1} {B'}^{-1} \\ \Rightarrow \ MB' = \Lambda B' \Lambda^{-1} \\ \Rightarrow \ \mu_i \beta_{ii} = \beta_{ii}

が成り立つ。

したがって \( M = I \)、すなわち \( C = I \) である。

(2.4.P12(c)) と比較せよ

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)