2.5.問題51
2.5.P51
\( A \in M_n \) を正規行列とし、スペクトル分解 \( A = U \Lambda U^* \) を考える。
ただし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) である。
任意の単位ベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) に対し、\(\xi = [\xi_i] = U^*x\) とおく。
このとき
x^* A x = \sum_{i=1}^n |\xi_i|^2 \lambda_i
が成り立つことを説明せよ。
また、\(x^*Ax\) が \( A \) の固有値の凸包に含まれること、さらに凸包上の任意の複素数はある単位ベクトル \( x \) に対する \( x^*Ax \) として実現できることを示せ。
したがって、\( A \) が正規行列であるとき、任意の単位ベクトル \( x \) に対して \( x^*Ax \neq 0 \) であることと、0 が固有値の凸包に含まれないことは同値である。
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