[行列解析2.5.P51]

2.5.問題51

2.5.P51

\( A \in M_n \) を正規行列とし、スペクトル分解 \( A = U \Lambda U^* \) を考える。

ただし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) である。

任意の単位ベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) に対し、\(\xi = [\xi_i] = U^*x\) とおく。

このとき

x^* A x = \sum_{i=1}^n |\xi_i|^2 \lambda_i

が成り立つことを説明せよ。

また、\(x^*Ax\) が \( A \) の固有値の凸包に含まれること、さらに凸包上の任意の複素数はある単位ベクトル \( x \) に対する \( x^*Ax \) として実現できることを示せ。

したがって、\( A \) が正規行列であるとき、任意の単位ベクトル \( x \) に対して \( x^*Ax \neq 0 \) であることと、0 が固有値の凸包に含まれないことは同値である。