[行列解析2.5.P50]

2.5.問題50

2.5.P50

反転行列 \( K_n \) (0.9.5.1) は実対称である。

K_n =
\begin{bmatrix}
0  & \cdots  & 0  & 1 \\
0  & \cdots  & 1  & 0 \\
\vdots  & \cdot & \vdots  & \vdots \\
1  & \dots  & 0  & 0 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\kappa_{ij}
\end{bmatrix}
\in \mathbb{M}_n

さらに実直交行列でもあることを確認せよ。

その固有値が ±1 であることを説明せよ。

また、\( n \) が偶数のとき \(\mathrm{tr}(K_n) = 0\)、\( n \) が奇数のとき \(\mathrm{tr}(K_n) = 1\) であることを確認せよ。

さらに、\( n \) が偶数なら固有値は ±1 がそれぞれ重複度 \( n/2 \) を持ち、\( n \) が奇数なら固有値 +1 の重複度は \((n+1)/2\)、−1 の重複度は \((n-1)/2\) であることを説明せよ。

[行列解析2.5]

2.5ユニタリ相似（unitary similarity）の文脈で自然に現れる正規行列のクラスは、行列解析において広く重要な役割を果たします。正規行列には、ユニタリ行列、エルミート行列、反エルミート行列、実直交行列、実対称行列、および実反対...

am-gm.com

2025.08.27