2.5.問題48
2.5.P48
\( A \in M_n \) が正規行列で \(\mathrm{rank}(A) = r > 0\) とする。
(2.5.3) を用いて \( A = U \Lambda U^* \) と書ける。
ただし \( U \in M_n \) はユニタリ行列、\(\Lambda = \Lambda_r \oplus 0_{n-r}\) は対角行列である。
(a)
\(\det \Lambda_r \neq 0\) であることを説明せよ。
さらに \(\det \Lambda_r = |\det \Lambda_r| e^{i\theta}, \ \theta \in [0,2\pi)\) と書け。
(b)
\( U = [V \ U_2] \) と分割し、\( V \in M_{n,r} \) とする。
このとき \( A = V \Lambda_r V^* \) であることを示せ。
これは \( A \) の full-rank factorization である。
(c)
インデックス集合 \(\alpha, \beta \subseteq \{1,\ldots,n\}\) で \(|\alpha|=|\beta|=r\) とするとき、\( V[\alpha, \emptyset^c] = V_\alpha \) とおく。
このとき次を説明せよ:
\( A[\alpha,\beta] = V_\alpha \Lambda_r V_\beta^* \)、\(\det A[\alpha] \det A[\beta] = \det A[\alpha,\beta]\det A[\beta,\alpha]\)、そして \(\det A[\alpha] = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r\)。
(d)
\( A \) のサイズ \( r \) の主小行列式は複素平面上の半直線 \(\{se^{i\theta} : s \geq 0\}\) 上にあり、少なくとも1つは零でないことを説明せよ。
(e)
このことから \( A \) が rank principal であることを結論せよ。
エルミート行列の場合の類似結果については (4.2.P30) を参照せよ。また (3.1.P20) も参照せよ。
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