2.5.P48
2.5.問題48
\( A \in M_n \) が正規行列で \(\mathrm{rank}(A) = r > 0\) とする。
(2.5.3) を用いて \( A = U \Lambda U^* \) と書ける。
ただし \( U \in M_n \) はユニタリ行列、\(\Lambda = \Lambda_r \oplus 0_{n-r}\) は対角行列である。
(a) \(\det \Lambda_r \neq 0\) であることを説明せよ。
さらに \(\det \Lambda_r = |\det \Lambda_r| e^{i\theta}, \ \theta \in [0,2\pi)\) と書け。
(b) \( U = [V \ U_2] \) と分割し、\( V \in M_{n,r} \) とする。
このとき \( A = V \Lambda_r V^* \) であることを示せ。
これは \( A \) の full-rank factorization である。
(c) インデックス集合 \(\alpha, \beta \subseteq \{1,\ldots,n\}\) で \(|\alpha|=|\beta|=r\) とするとき、\( V[\alpha, \emptyset^c] = V_\alpha \) とおく。
このとき次を説明せよ:
\( A[\alpha,\beta] = V_\alpha \Lambda_r V_\beta^* \)、\(\det A[\alpha] \det A[\beta] = \det A[\alpha,\beta]\det A[\beta,\alpha]\)、そして \(\det A[\alpha] = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r\)。
(d) \( A \) のサイズ \( r \) の主小行列式は複素平面上の半直線 \(\{se^{i\theta} : s \geq 0\}\) 上にあり、少なくとも1つは零でないことを説明せよ。
(e) このことから \( A \) が rank principal であることを結論せよ。
エルミート行列の場合の類似結果については (4.2.P3) を参照せよ。また (3.1.P20) も参照せよ。
ヒント
正規行列はユニタリ相似により対角化でき、階数は非零固有値の個数に一致する。
分解 \( A = U\Lambda U^* \) を列分割して用いることで、主小行列やその行列式を具体的に表すことができる。
解答例
シュールの標準形定理(2.3.1) により、正規行列 \( A \) は \( A = U \Lambda U^* \) と書ける。
ただし \( U \) はユニタリ行列であり、\( \Lambda = \Lambda_r \oplus 0_{n-r} \)、\( \Lambda_r = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_r) \) とする。
(a) \( \mathrm{rank}(A)=r \) であるから、非零固有値はちょうど \( r \) 個であり、\( \lambda_1,\ldots,\lambda_r \neq 0 \) である。したがって \( \det \Lambda_r = \prod_{j=1}^r \lambda_j \neq 0 \) である。よって \( \det \Lambda_r = |\det \Lambda_r| e^{i\theta} \ (\theta \in [0,2\pi)) \) と表せる。
(b) \( U = [V \ U_2] \) と列分割し、\( V \in M_{n,r} \) とする。このとき
A
=
[\,V\ U_2\,]
\begin{bmatrix}
\Lambda_r & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
V^* \\
U_2^*
\end{bmatrix}
=
V\Lambda_r V^*
が成り立つ。これは \( A \) の full-rank factorization である。
(c) \( |\alpha|=|\beta|=r \) とし、\( V_\alpha = V[\alpha,\emptyset^c] \) とおくと、
A[\alpha,\beta] = V_\alpha \Lambda_r V_\beta^*
が成り立つ。また行列式の積の公式より \( \det A[\alpha]\det A[\beta] = \det A[\alpha,\beta]\det A[\beta,\alpha] \) が従う。特に
\det A[\alpha] = \det(V_\alpha \Lambda_r V_\alpha^*) = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r
である。
(d) (c) より、任意のサイズ \( r \) の主小行列式は \( \det A[\alpha] = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r \) と書ける。ここで \( |\det V_\alpha|^2 \ge 0 \) であり、\( \det \Lambda_r = |\det \Lambda_r| e^{i\theta} \) であるから、\( \det A[\alpha] \) は複素平面上の半直線 \( \{ s e^{i\theta} : s \ge 0 \} \) 上にある。また \( V \) のある行集合では \( \det V_\alpha \neq 0 \) となるため、少なくとも1つは零でない。
(e) 以上より、\( A \) は階数 \( r \) の零でない主小行列式を持ち、サイズ \( r \) より大きい主小行列式はすべて零である。したがって \( A \) は rank principal である。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント