[行列解析2.5.P46]実行列の非実固有値は共役対で現れる

2.5.P46

2.5.問題46

シュールの標準形・シュール三角化(2.3.1) を用いて、実行列の非実固有値は必ず複素共役のペアで現れることを示せ。

実行列に対するシュールの標準形では、直交行列による相似変換で上三角（あるいは準三角）行列が得られる。対角成分や \(2\times2\) ブロックの形に注目し、特性多項式の係数が実数であることを用いる。

\(A \in M_n(\mathbb{R})\) を実行列とする。

実行列に対するシュールの標準形（シュール三角化）より、ある実直交行列 \(Q\) が存在して

Q^{\top} A Q = T

となり、\(T\) は上三角ブロック行列で、各対角ブロックは \(1\times1\) または \(2\times2\) の実行列である。

\(1\times1\) ブロックは実数 \(\lambda\) であり、これは \(A\) の実固有値に対応する。一方、\(2\times2\) ブロックは

\begin{pmatrix} a & b \\ -c & a \end{pmatrix} \qquad (b,c>0)

の形をしている。この行列の特性多項式は \( (t-a)^2+bc \) であり、その根は \( a \pm i\sqrt{bc} \) である。

したがって、この \(2\times2\) ブロックは互いに複素共役な非実固有値の組に対応する。

以上より、実行列 \(A\) の固有値は、実数であるか、または必ず複素共役のペアとして現れることが分かる。