2.5.問題38
2.5.P38
\(A = [a_{ij}] \in M_{n}\)、
\(C = AA^{*} - A^{*}A\) とする。
(a)
\(C\) がエルミートである理由と、\(C\) が零行列と同値に冪零である理由を説明せよ。
(b)
\(A\) が正規であることと \(A\) が \(C\) と可換することは同値であることを示せ。
(c)
\(\mathrm{rank}(C) \neq 1\) であることを示せ。
\(A\) が正規であることと \(\mathrm{rank}(C) \leq 1\) であることは同値である、すなわち可能性は2つしかない：\(\mathrm{rank}(C) = 0\)（このとき \(A\) は正規）、または \(\mathrm{rank}(C) \geq 2\)（このとき \(A\) は非正規）。
このとき \(\mathrm{rank}(C) = 2\) の場合、\(A\) を「ほぼ正規(nearly normal)」と呼ぶ。
(d)
\(A\) が三重対角テプリッツ行列であるとする。このとき
C = \mathrm{diag}(\alpha, 0, \ldots, 0, -\alpha), \quad \alpha = |a_{12}|^{2} - |a_{21}|^{2}. となることを示せ。
したがって \(A\) が正規であることと \(|a_{12}| = |a_{21}|\) であることは同値であり、そうでない場合 \(A\) は「ほぼ正規」である
行列解析の総本山
総本山の目次📚
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
記号の意味
[行列解析9.0]主要な記号一覧
行列解析で使用している記号や用語の簡単な説明です。
am-gm.com
2025.11.09
コメント