2.5.問題38
2.5.P38
\(A = [a_{ij}] \in M_{n}\)、\(C = AA^{*} - A^{*}A\) とする。
(a)
\(C\) がエルミートである理由と、\(C\) が零行列と同値に冪零である理由を説明せよ。
(b)
\(A\) が正規であることと \(A\) が \(C\) と可換することは同値であることを示せ。
(c)
\(\mathrm{rank}(C) \neq 1\) であることを示せ。
(d)
\(A\) が正規であることと \(\mathrm{rank}(C) \leq 1\) であることは同値である、すなわち可能性は2つしかない：\(\mathrm{rank}(C) = 0\)（このとき \(A\) は正規）、または \(\mathrm{rank}(C) \geq 2\)（このとき \(A\) は非正規）。
このとき \(\mathrm{rank}(C) = 2\) の場合、\(A\) を「ほぼ正規」と呼ぶ。
(d)
\(A\) が三重対角テプリッツ行列であるとする。このとき
C = \mathrm{diag}(\alpha, 0, \ldots, 0, -\alpha), \quad \alpha = |a_{12}|^{2} - |a_{21}|^{2}. となることを示せ。
したがって \(A\) が正規であることと \(|a_{12}| = |a_{21}|\) であることは同値であり、そうでない場合 \(A\) はほぼ正規である
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