[行列解析2.5.P38]可換子行列による正規性とほぼ正規性

2.5.P38

2.5.問題38
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2.5.問題38

\(A = [a_{ij}] \in M_{n}\)、
\(C = AA^{*} - A^{*}A\) とする。

(a) \(C\) がエルミートである理由と、\(C\) が零行列と同値に冪零である理由を説明せよ。

(b) \(A\) が正規であることと \(A\) が \(C\) と可換することは同値であることを示せ。

(c) \(\mathrm{rank}(C) \neq 1\) であることを示せ。

\(A\) が正規であることと \(\mathrm{rank}(C) \leq 1\) であることは同値である、すなわち可能性は2つしかない：\(\mathrm{rank}(C) = 0\)（このとき \(A\) は正規）、または \(\mathrm{rank}(C) \geq 2\)（このとき \(A\) は非正規）。

このとき \(\mathrm{rank}(C) = 2\) の場合、\(A\) を「ほぼ正規(nearly normal)」と呼ぶ。

(d) \(A\) が三重対角テプリッツ行列であるとする。このとき

C = \mathrm{diag}(\alpha, 0, \ldots, 0, -\alpha), \quad \alpha = |a_{12}|^{2} - |a_{21}|^{2}.

となることを示せ。

したがって \(A\) が正規であることと \(|a_{12}| = |a_{21}|\) であることは同値であり、そうでない場合 \(A\) は「ほぼ正規」である

ヒント

行列 \(C = AA^{*} - A^{*}A\) は正規性を測る基本的な量である。

(a) では随伴の性質と固有値に注目する。

(b) では可換条件を直接計算で確認する。

(d) では三重対角テプリッツ構造を用いて具体的に成分計算を行う。

解答例

(a) 　\(C^{*} = (AA^{*} - A^{*}A)^{*} = AA^{*} - A^{*}A = C\) であるから、\(C\) はエルミートである。エルミート行列は実固有値をもつ。もし \(C\) が冪零ならすべての固有値は 0 であり、したがって \(C\) は零行列である。逆に零行列は自明に冪零である。

(b) 　\(A\) が正規であれば \(AA^{*} = A^{*}A\) であり、よって \(C = 0\) であるから自明に \(AC = CA\) が成り立つ。逆に \(AC = CA\) と仮定すると \(A(AA^{*} - A^{*}A) = (AA^{*} - A^{*}A)A\) が成り立ち、整理すると \(AA^{*}A = A^{*}AA\) を得る。両辺に随伴を取ることで同値な式が得られ、結果として \(AA^{*} = A^{*}A\) が従う。したがって \(A\) は正規である。

(c) 　\(C\) はエルミートであり、\(\mathrm{tr}(C)=\mathrm{tr}(AA^{*})-\mathrm{tr}(A^{*}A)=0\) である。エルミート行列で階数が 1 の場合、非零固有値は 1 つしか持たず、その和は非零となるためトレースが 0 になることはない。よって \(\mathrm{rank}(C)\neq 1\) である。したがって \(\mathrm{rank}(C)\leq 1\) が成り立つのは \(\mathrm{rank}(C)=0\) の場合のみであり、これは \(A\) が正規であることと同値である。

(d) 　\(A\) が三重対角テプリッツ行列であるとき、非零成分は主対角およびその上下 1 本に限られる。この構造を用いて \(AA^{*}\) と \(A^{*}A\) を計算すると、差 \(C = AA^{*} - A^{*}A\) は対角行列となり、

C = \mathrm{diag}(\alpha, 0, \ldots, 0, -\alpha), \quad \alpha = |a_{12}|^{2} - |a_{21}|^{2}

を得る。したがって \(\alpha = 0\)、すなわち \(|a_{12}| = |a_{21}|\) のときに限り \(C=0\) であり、このとき \(A\) は正規である。そうでない場合には \(\mathrm{rank}(C)=2\) となり、\(A\) は「ほぼ正規(nearly normal)」である。