[行列解析2.5.P37]

2.5.問題37

2.5.P37

\(n \geq 2\) とし、

 A = \begin{bmatrix} a & x^{*} \\ y & B \end{bmatrix} \in M_{n}, 

ただし \(B \in M_{n-1}, x, y \in \mathbb{C}^{n-1}\) であり、\(A\) は正規とする。

(a)

\(\|x\|^{2} = \|y\|^{2}\) かつ \(xx^{*} - yy^{*} = BB^{*} - B^{*}B\) であることを示せ。

(b)

任意の正方複素行列 \(F\) に対して \(\mathrm{rank}(FF^{*} - F^{*}F) \neq 1\) である理由を説明せよ。

(c)

次の2つの排他的可能性がある理由を説明せよ: (i) 主小行列 \(B\) が正規であるか、(ii) \(\mathrm{rank}(BB^{*} - B^{*}B) = 2\)。

(d)

\(B\) が正規であることと、ある実数 \(\theta\) が存在して \(x = e^{i\theta}y\) であることは同値であることを説明せよ。

(e)

次の例を考察せよ:

 B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} -\sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix}, \quad y = \begin{bmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{bmatrix}, \quad a = 1 - \sqrt{2}. 

参考:Matrix Analysis:Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)

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