[行列解析2.5.P30]

2.5.問題30

5.P30

任意の \(A \in M_{n}\) に対して、すべての \(x, y \in \mathbb{C}^{n}\) について次が成り立つことと \(A\) が正規であることは同値であることを示せ：

(Ax)^{*}(Ay) = (A^{*}x)^{*}(A^{*}y).

\(A, x, y\) が実ベクトルのとき、この条件は「\(Ax\) と \(Ay\) のなす角が、常に \(A^{T}x\) と \(A^{T}y\) のなす角と等しい」ことを意味する。

(2.5.P1) と比較せよ。標準基底ベクトル \(x = e_{i}, y = e_{j}\) をとった場合、この条件は何を意味するか。

もし \((Ae_{i})^{*}(Ae_{j}) = (A^{*}e_{i})^{*}(A^{*}e_{j})\) がすべての \(i, j = 1, \ldots, n\) に対して成り立つなら、\(A\) が正規であることを示せ。