2.5.P30
2.5.問題30
任意の \(A \in M_{n}\) に対して、すべての \(x, y \in \mathbb{C}^{n}\) について次が成り立つことと \(A\) が正規であることは同値であることを示せ：
(Ax)^{*}(Ay) = (A^{*}x)^{*}(A^{*}y). \(A, x, y\) が実ベクトルのとき、この条件は「\(Ax\) と \(Ay\) のなす角が、常に \(A^{T}x\) と \(A^{T}y\) のなす角と等しい」ことを意味する。
\(A \in M_n\) が正規であることと、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) について
\((Ax)^{*}(Ax) = (A^{*}x)^{*}(A^{*}x)\)、すなわち
\(\lVert Ax \rVert^{2} = \lVert A^{*}x \rVert^{2}\) が成り立つことは同値である。
(2.5.P1) と比較せよ。標準基底ベクトル \(x = e_{i}, y = e_{j}\) をとった場合、この条件は何を意味するか。
もし \((Ae_{i})^{*}(Ae_{j}) = (A^{*}e_{i})^{*}(A^{*}e_{j})\) がすべての \(i, j = 1, \ldots, n\) に対して成り立つなら、\(A\) が正規であることを示せ。
ヒント
正規性は \(AA^∗=A^∗A\) によって特徴づけられる。
一方，内積条件 \((Ax)^{∗}(Ay)=(A^{∗}x)^∗(A^{∗}y)\) は随伴の定義を用いて行列積に書き換えられる。
与えられた等式を随伴の定義を用いて行列積の形に書き直すと，\(A^{*}A\) と \(AA^{*}\) の関係として理解できる。
(2.5.P1) は \(x=y\) の場合に対応している。
標準基底を代入すると，各成分が等しいことを意味する条件になる。
解答例
任意の \(x,y \in \mathbb{C}^{n}\) に対して，随伴の定義より
(Ax)^{*}(Ay)=x^{*}A^{*}Ay,\qquad
(A^{*}x)^{*}(A^{*}y)=x^{*}AA^{*}y
である。したがって条件 \((Ax)^{*}(Ay)=(A^{*}x)^{*}(A^{*}y)\) がすべての \(x,y\) に対して成り立つことは，
x^{*}A^{*}Ay=x^{*}AA^{*}y
がすべての \(x,y\) に対して成り立つことと同値である。このとき
A^{*}A=AA^{*}
が従い，\(A\) は正規である。逆に \(A\) が正規なら \(A^{*}A=AA^{*}\) が成り立つので，上の等式は自動的に成立し，条件が満たされる。
(2.5.P1) は上の条件で \(x=y\) とした特別な場合であり， \((Ax)^{*}(Ax)=(A^{*}x)^{*}(A^{*}x)\)，すなわち \(\lVert Ax\rVert^{2}=\lVert A^{*}x\rVert^{2}\) が正規性と同値であることを与える。
次に標準基底 \(x=e_{i}, y=e_{j}\) を代入すると，
(Ae_{i})^{*}(Ae_{j})=(A^{*}e_{i})^{*}(A^{*}e_{j})
は \(A^{*}A\) と \(AA^{*}\) の \((i,j)\) 成分が等しいことを意味する。これがすべての \(i,j=1,\ldots,n\) に対して成り立つなら，
A^{*}A=AA^{*}
が従い，\(A\) は正規である。
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