2.5.問題29
2.5.P29
\(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{2}\) とし、\(bc \neq 0\) と仮定する。
(a)
\(A\) が正規であることと、ある \(\theta \in \mathbb{R}\) が存在して \(c = e^{i\theta}b\) かつ \(a - d = e^{i\theta} b (\overline{a} - \overline{d})/\overline{b}\) が成り立つことは同値であることを示せ。
特に、\(A\) が正規なら \(|c| = |b|\) でなければならない。
(b)
\(b = |b| e^{i\varphi}\) とする。
もし \(A\) が正規で \(c = b e^{i\theta}\) なら、\(e^{-i(\varphi + \theta/2)}(A - aI)\) がエルミートであることを示せ。
逆に、ある \(\gamma \in \mathbb{C}\) が存在して \(A - \gamma I\) が本質的にエルミートであるなら、\(A\) は正規であることを示せ。
(c)
\(A\) が実行列なら、(a) より次が成り立つことを導け：
\(A\) が正規であることと、\(c = b\)（すなわち \(A = A^{T}\)）または \(c = -b\) かつ \(a = d\)（すなわち \(AA^{T} = (a^{2} + b^{2})I\)、かつ \(a = 0\) の場合 \(A = -A^{T}\)）であることは同値である。
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