2.5.問題28
2.5.P28
エルミート行列 \(A, B \in M_{n}\) が与えられ、\(AB\) が正規であると仮定する。
(a)
なぜ \(BA\) も正規なのかを説明せよ。
(b)
\(A\) が \(B^{2}\) と可換し、\(B\) が \(A^{2}\) と可換することを示せ。
(c)
多項式 \(p(t)\) が存在して \(A = p(A^{2})\) または \(B = p(B^{2})\) が成り立つなら、\(A\) と \(B\) は可換し、さらに \(AB\) は実際にはエルミートであることを示せ。
(d)
(c) の条件が、非零固有値 \(\lambda\) に対して \(-\lambda\) が固有値ではないという性質を \(A\) または \(B\) が満たすとき成立する理由を説明せよ。
たとえば、\(A\) または \(B\) がすべての固有値を非負に持つ場合、この条件は満たされる。(d) 次の例を考察せよ。
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix}. 
コメント