2.5.問題26
2.5.P26 \(A \in M_{n}\) が与えられたとする。
(a) ある多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\) ならば、\(A\) は正規であることを示せ。
(b) \(A\) が正規なら、次数が最大で \(n-1\) の多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\) となることを示せ。
(c) \(A\) が実行列かつ正規なら、実係数で次数が最大 \(n-1\) の多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{T} = p(A)\) となることを示せ。
(d) \(A\) が正規なら、実係数で次数が最大 \(2n-1\) の多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\) となることを示せ。
(e) \(A \in M_{n}, B \in M_{m}\) がともに正規なら、次数が最大 \(n+m-1\) の多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\)、かつ \(B^{*} = p(B)\) となることを示せ。
(f) \(A \in M_{n}, B \in M_{m}\) がともに正規なら、実係数で次数が最大 \(2n+2m-1\) の多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\)、かつ \(B^{*} = p(B)\) となることを示せ。
(g) (e) と (2.4.4.0) を用いて、Fuglede–Putnam の定理 (2.5.16) を証明せよ。
(h) (f) を用いて (2.5.P25) の主張を証明せよ。
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