2.5.P25
2.5.問題25
\(A \in M_{n}, B \in M_{m}\) が正規であり、\(X \in M_{n,m}\) が与えられたとする。
このとき \(\overline{B}\) が正規である理由を説明し、次が成り立つことを示せ。
AX = X \overline{B} \iff A^{*}X = X B^{\top}. ヒント
複素共役は行列積や随伴と両立するため、正規性は保存される。
行列方程式に随伴を取り、転置と複素共役の関係 \( (B^{*})^{\top}=\overline{B} \) を用いることで同値性を示す。
解答例
まず \(B\in M_m\) は正規であるから \( BB^{*}=B^{*}B \) が成り立つ。両辺の複素共役を取ると、行列積と随伴の性質より \( \overline{B}\,(\overline{B})^{*}=(\overline{B})^{*}\,\overline{B} \) を得る。したがって \( \overline{B} \) も正規行列である。
次に同値性を示す。まず \( AX=X\overline{B} \) が成り立つと仮定する。両辺の随伴を取ると
(AX)^{*}=(X\overline{B})^{*}
となる。随伴の性質より \( (AX)^{*}=X^{*}A^{*} \)、\( (X\overline{B})^{*}=(\overline{B})^{*}X^{*} \) である。ここで \( (\overline{B})^{*}=B^{\top} \) が成り立つから、
X^{*}A^{*}=B^{\top}X^{*}
を得る。両辺を転置すると \( A^{*}X=XB^{\top} \) が従う。
逆に \( A^{*}X=XB^{\top} \) が成り立つと仮定する。
両辺を転置してから複素共役を取ると、上と同様の計算により \( AX=X\overline{B} \) が得られる。
以上より \( AX=X\overline{B} \iff A^{*}X=XB^{\top} \) が成り立つことが示された。
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