[行列解析2.5.P24]正規かつ冪零な行列は零行列である

2.5.P24

2.5.問題24

\(A \in M_{n}\) が正規かつ冪零ならば、\(A = 0\) であることを示せ。

正規行列はユニタリ行列によって対角化できる。

一方、冪零行列の固有値はすべて \( 0 \) である。これらを組み合わせて考える。

\(A\in M_n\) が正規行列であるとする。

正規行列に対するスペクトル定理より、あるユニタリ行列 \(U\) が存在して \( A=U\Lambda U^{*} \) と書ける。

ただし \( \Lambda \) は対角行列であり、その対角成分は \(A\) の固有値である。

次に、\(A\) が冪零であると仮定する。

すなわち、ある正の整数 \(k\) が存在して \( A^{k}=0 \) が成り立つ。このとき、\(A\) の任意の固有値を \( \lambda \) とすると、 \( \lambda^{k}=0 \) が成り立つので、\( \lambda=0 \) である。

したがって、対角行列 \( \Lambda \) のすべての対角成分は 0 であり、 \( \Lambda=0 \) となる。

よって \( A=U\Lambda U^{*}=0 \) が従う。以上より、正規かつ冪零な行列は零行列であることが示された。