[行列解析2.5.P22]複素エルミート行列の特性多項式の実係数性

2.5.P22

2.5.問題22

(2.5.6) を用いて、複素エルミート行列の特性多項式は実係数をもつことを示せ。

エルミート行列では \( A^{*}=A \) が成り立つ。

特性多項式を \( \det(\lambda I-A) \) とおき、複素共役を取ったときの振る舞いを調べることで、係数が実数であることを示す。

\(A\in M_n\) を複素エルミート行列とする。

すなわち \( A^{*}=A \) が成り立つ。\(A\) の特性多項式を \( p(\lambda)=\det(\lambda I-A) \) とおく。

任意の \( \lambda\in\mathbb{C} \) に対して、\( p(\lambda) \) の複素共役を取ると

\overline{p(\lambda)} =\overline{\det(\lambda I-A)} =\det\bigl((\lambda I-A)^{*}\bigr)

が成り立つ。

ここで随伴の性質と \( A^{*}=A \) より \( (\lambda I-A)^{*}=\overline{\lambda}I-A \) であるから、

\overline{p(\lambda)}=\det(\overline{\lambda}I-A)=p(\overline{\lambda})

を得る。したがって、\( p(\lambda) \) は \( \overline{p(\lambda)}=p(\overline{\lambda}) \) を満たす多項式である。

この性質は、特性多項式のすべての係数が実数であることと同値である。

よって、複素エルミート行列の特性多項式は実係数をもつことが示された。