2.5.P20
2.5.問題20
\(A \in M_{n}\) が正規であり、\(x \in \mathbb{C}^{n}\) が固有値 \(\lambda\) に対応する右固有ベクトルであるとする。
(2.5.P1) および (2.5.P19) を用いて、\(x\) が同じ固有値 \(\lambda\) に対応する左固有ベクトルでもあることを示せ。
ヒント
\(A \in M_n\) が正規であることと、
任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) について
\(\lVert Ax \rVert^{2} = \lVert A^{*}x \rVert^{2}\) が成り立つことは同値である。
\(A \in M_{n}\) と \(a \in \mathbb{C}\) が与えられたとする。
\(A\) が正規であることと \(A + aI\) が正規であることは同値である。
右固有ベクトルであることから \( (A-\lambda I)x=0 \) が成り立つ。
正規行列の同値条件である \( \lVert (A-\lambda I)x \rVert^{2}=\lVert (A-\lambda I)^{*}x \rVert^{2} \) を用いると、\( (A^{*}-\overline{\lambda}I)x=0 \) が従う。
ここから左固有ベクトルであることが分かる。
解答例
\(A\in M_n\) は正規行列であり、\(x\in\mathbb{C}^n\) が固有値 \( \lambda \) に対応する右固有ベクトルであるとする。
このとき \( Ax=\lambda x \)、すなわち \( (A-\lambda I)x=0 \) が成り立つ。
正規行列の性質より、\(A\) が正規であることと任意の \(y\in\mathbb{C}^n\) に対して \( \lVert Ay\rVert^{2}=\lVert A^{*}y\rVert^{2} \) が成り立つことは同値である。
また、\(A\) が正規であることと \(A-\lambda I\) が正規であることも同値である。
したがって、正規行列 \(A-\lambda I\) に \(y=x\) を代入すると
\|(A-\lambda I)x\|^{2}=\|(A-\lambda I)^{*}x\|^{2}
が成り立つ。
左辺は \( (A-\lambda I)x=0 \) より 0 であるから、右辺も 0 となる。よって
(A-\lambda I)^{*}x=0
が従う。随伴を計算すると \( (A-\lambda I)^{*}=A^{*}-\overline{\lambda}I \) であるから、
A^{*}x=\overline{\lambda}x
となる。これは \(x\) が固有値 \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルであることを意味する。
以上より、正規行列においては右固有ベクトルは同じ固有値に対応する左固有ベクトルでもあることが示された。
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