[行列解析2.5.P18]多項式が正規なときの元行列の正規性

2.5.P18

2.5.問題18

\(A \in M_{n}\) に対し、ある零でない多項式 \(p(t)\) が存在して \(p(A)\) が正規であるとする。

このとき \(A\) 自身が正規であることは従うか。

条件は「ある多項式 \( p(t) \) に対して \( p(A) \) が正規」であることであり、\( A \) 自身についての情報は間接的である。

零多項式でないという条件の意味を確認し、簡単な具体例を用いて反例が構成できるかを考えるとよい。

結論から述べると、この条件から \( A \) が正規であるとは一般には従わない。

具体例を与える。次の行列を考える。

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

この行列 \( A \) は \( A A^{*} \neq A^{*} A \) であるから、正規行列ではない。

一方、多項式 \( p(t)=t^{2} \) を考えると、 \( A^{2}=0 \) が成り立つ。

零行列は明らかに正規行列である。
したがって、この例では「零でない多項式 \( p(t) \) が存在して \( p(A) \) が正規である」という条件は満たされている。

しかし、もとの行列 \( A \) は正規ではない。
よって、ある零でない多項式 \( p(t) \) に対して \( p(A) \) が正規であっても、\( A \) 自身が正規であるとは一般には言えない。