[行列解析2.5.P11]複素数の共役と絶対値のユニタリ表示

2.5.P11

2.5.問題11

任意の複素数 \(z \in \mathbb{C}\) に対し、\(\overline{z} = e^{i\theta} z\) かつ \(|z| = e^{i\tau} z\) を満たす \(\theta, \tau \in \mathbb{R}\) が存在することを示せ。

なお、\([e^{i\theta}] \in M_1\) はユニタリ行列である。

対角ユニタリ行列 \(U \in M_n\) はどのような形になるか。

\overline{z} = e^{i\theta} z, \qquad |z| = e^{i\tau} z.

複素数 \( z \) を極形式 \( z = |z| e^{i\varphi} \) と表すと、共役 \( \overline{z} \) や絶対値 \( |z| \) は位相因子を用いて簡単に記述できる。

特に、絶対値が 1 の複素数 \( e^{i\theta} \) は 1 次元のユニタリ行列とみなせる点に注意する。

任意の複素数 \( z \in \mathbb{C} \) に対し、\( z = |z| e^{i\varphi} \) と極形式で表す。ただし \( \varphi \in \mathbb{R} \) である。

このとき、共役複素数は \( \overline{z} = |z| e^{-i\varphi} \) であるから、

\overline{z} = e^{-2i\varphi} z

が成り立つ。ここで \( \theta = -2\varphi \) とおけば、\( \overline{z} = e^{i\theta} z \) を満たす実数 \( \theta \) が存在する。

次に、\( |z| \) について考える。\( z = |z| e^{i\varphi} \) より、

|z| = e^{-i\varphi} z

が成り立つ。したがって \( \tau = -\varphi \) とおけば、\( |z| = e^{i\tau} z \) を満たす実数 \( \tau \) が存在する。

なお、\( e^{i\theta} \) は絶対値 1 をもつ複素数であり、\( [e^{i\theta}] \in M_1 \) はユニタリ行列である。

一般に、対角ユニタリ行列 \( U \in M_n \) は、対角成分がすべて絶対値 1 の複素数であるような行列であり、

U = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \ldots, e^{i\theta_n})

という形に表される。ただし \( \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n \in \mathbb{R} \) である。