[行列解析2.5.5]

2.5.5

定理 2.5.5.

\( N \subseteq M_n \) を正規行列の空でない族とします。このとき、次の2つは同値です：

任意の \( A_0 \in N \) およびその固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) の任意の順序に対して、あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して：

U^* A_0 U = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

かつ、すべての \( B \in N \) に対して \( U^* B U \) も対角行列になります。

練習問題：

(2.3.3) と「三角行列で正規なら対角行列である」という事実を使って、定理 (2.5.5) を証明せよ。

\( A_0 \) に関する最終的な主張は、(1.3.21) の証明と同様に、任意の置換行列がユニタリであることから導かれます。

定理 (2.5.3) をエルミート行列の場合に適用することで、エルミート行列のスペクトル定理と呼ばれる基本的な結果が得られます。