[行列解析2.5.21]

2.5.21

定理 2.5.21.

\(F = \{ A_{\alpha} : \alpha \in I \} \subset M_n(\mathbb{R})\)、\(G = \{ B_{\alpha} : \alpha \in I \} \subset M_n(\mathbb{R})\) を実行列の族とする。もしユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して、すべての \(\alpha \in I\) に対して

 A_{\alpha} = U B_{\alpha} U^{*} 

が成り立つならば、実直交行列 \(Q \in M_n(\mathbb{R})\) が存在して、すべての \(\alpha \in I\) に対して

 A_{\alpha} = Q B_{\alpha} Q^{T} 

が成り立つ。特に、2つの実行列がユニタリ相似であるとき、それらは実直交相似でもある。

証明.

各 \(A_{\alpha}\)、\(B_{\alpha}\) は実行列なので、

 A_{\alpha} = U B_{\alpha} U^{*} = \overline{U} B_{\alpha} U^{T} = \overline{A_{\alpha}} 

が成り立つ。したがって、すべての \(\alpha \in I\) に対して

 U^{T} U B_{\alpha} = B_{\alpha} U^{T} U 

が成立する。先行する系により、対称ユニタリ行列 \(S\) と実直交行列 \(Q\) が存在して \(U = Q S\) かつ \(S\) はすべての \(B_{\alpha}\) と可換である。したがって、

 A_{\alpha} = U B_{\alpha} U^{*} = Q S B_{\alpha} S^{*} Q^{T} = Q B_{\alpha} S S^{*} Q^{T} = Q B_{\alpha} Q^{T} 

がすべての \(\alpha \in I\) に対して成り立つ。□

[行列解析2.5]

2.5ユニタリ相似（unitary similarity）の文脈で自然に現れる正規行列のクラスは、行列解析において広く重要な役割を果たします。正規行列には、ユニタリ行列、エルミート行列、反エルミート行列、実直交行列、実対称行列、および実反対...

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2025.08.27