[行列解析2.5.17]定理

2.5.17

定理 2.5.17. \(A \in M_n\) が正規行列（normal）とする。

このとき次の3条件は同値である。

(a) \(\overline{A}\,A = A\,\overline{A}\)。

(b) \(A^{T}A = AA^{T}\)。

(c) 実直交行列 \(Q\) が存在して、\(Q^{T}AQ\) は有限個のブロックの直和（順序は任意）に相当し、各ブロックは「零ブロック」または、次のいずれかの非零スカラー倍である：

 \begin{bmatrix}1\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}a & b\\ -b & a\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}1 & i\\ -i & 1\end{bmatrix},\qquad a,b\in\mathbb{C} 

ここで、\(\begin{bmatrix}a & b\\ -b & a\end{bmatrix}\) に対しては \(a\neq 0\neq b\) かつ \(a^{2}+b^{2}=1\) を満たす。

逆に、\(A\) が (2.5.17.1) 形のブロックの複素スカラー倍の直和に実直交的に類似であるならば、\(A\) は正規行列であり、\(\overline{A}\,A = A\,\overline{A}\) が成り立つ。

証明.

(a) と (b) の同値性は直前の定理から従う：\(\ \overline{A}\,A = A\,\overline{A}\) であることと \(A^{T}A = (\overline{A})^{\*}A = A(\overline{A})^{\*} = AA^{T}\) は同値である。

\(A=B+iC\) とおく（\(B,C\) は実行列）。(2.5.16) の後の演習より、\(\{B,C\}\) は可換な実正規族である。したがって (2.5.15) より、実直交行列 \(Q\) と非負整数 \(q\) が存在して、

 Q^{T}BQ \;=\; \Delta(B)\;\oplus\; \begin{bmatrix}a_{1}(B) & b_{1}(B)\\ -b_{1}(B) & a_{1}(B)\end{bmatrix} \;\oplus\;\cdots\;\oplus\; \begin{bmatrix}a_{q}(B) & b_{q}(B)\\ -b_{q}(B) & a_{q}(B)\end{bmatrix} 

および

 Q^{T}CQ \;=\; \Delta(C)\;\oplus\; \begin{bmatrix}a_{1}(C) & b_{1}(C)\\ -b_{1}(C) & a_{1}(C)\end{bmatrix} \;\oplus\;\cdots\;\oplus\; \begin{bmatrix}a_{q}(C) & b_{q}(C)\\ -b_{q}(C) & a_{q}(C)\end{bmatrix} 

が成り立つ。ここで \(\Delta(B),\Delta(C)\in M_{n-2q}\) はそれぞれ対角行列であり、各 \(j\in\{1,\dots,q\}\) について、\(b_{j}(B)\) と \(b_{j}(C)\) の少なくとも一方は正である。

ゆえに、

 Q^{T}AQ \;=\; Q^{T}(B+iC)Q \\
\;=\; \Delta(A)\;\oplus\; \begin{bmatrix}\alpha_{1}(A) & \beta_{1}(A)\\ -\beta_{1}(A) & \alpha_{1}(A)\end{bmatrix} \;\oplus\;\cdots\;\oplus\; \begin{bmatrix}\alpha_{q}(A) & \beta_{q}(A)\\ -\beta_{q}(A) & \alpha_{q}(A)\end{bmatrix} 

となる。

ここで \(\Delta(A)=\Delta(B)+i\,\Delta(C)\)、\(\alpha_{j}(A)=a_{j}(B)+i\,a_{j}(C)\)、\(\beta_{j}(A)=b_{j}(B)+i\,b_{j}(C)\neq 0\) である。

直前の演習より、(2.5.17.2) の各正則な \(2\times 2\) ブロックは、次のいずれかの非零スカラー倍に等しい：

 \begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} \quad\text{または}\quad \begin{bmatrix}a & b\\ -b & a\end{bmatrix}, \qquad \\
a\neq 0\neq b,\ \ a^{2}+b^{2}=1. 

また、(2.5.17.2) の各特異な \(2\times 2\) ブロックは、

 \begin{bmatrix}1 & i\\ -i & 1\end{bmatrix} 

の非零スカラー倍であるか、あるいはそれに実直交的に類似である。□

補足（次節で重要な特別な場合）. 対称あるいは反対称なユニタリ行列。

演習. (2.5.17.1) に挙げた最初の二つのブロックがユニタリであることを示せ。第三のブロックは複素直交ではあるがユニタリではない。第四のブロックは特異であり、したがってユニタリでも複素直交でもない。

[行列解析2.5]

2.5ユニタリ相似（unitary similarity）の文脈で自然に現れる正規行列のクラスは、行列解析において広く重要な役割を果たします。正規行列には、ユニタリ行列、エルミート行列、反エルミート行列、実直交行列、実対称行列、および実反対...

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2025.08.27