[行列解析2.5]問題集２

2.5問題集２

2.5.P51 \( A \in M_n \) を正規行列とし、スペクトル分解 \( A = U \Lambda U^* \) を考える。

ただし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) である。任意の単位ベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) に対し、\(\xi = [\xi_i] = U^*x\) とおく。このとき

x^* A x = \sum_{i=1}^n |\xi_i|^2 \lambda_i

が成り立つことを説明せよ。また、\(x^*Ax\) が \( A \) の固有値の凸包に含まれること、さらに凸包上の任意の複素数はある単位ベクトル \( x \) に対する \( x^*Ax \) として実現できることを示せ。したがって、\( A \) が正規行列であるとき、任意の単位ベクトル \( x \) に対して \( x^*Ax \neq 0 \) であることと、0 が固有値の凸包に含まれないことは同値である。

2.5.P52 \( A, B \in M_n \) を非特異行列とする。行列 \( C = ABA^{-1}B^{-1} \) を \( A \) と \( B \) の乗法的交換子（multiplicative commutator）と呼ぶ。このとき \( C = I \) であることと \( A \) と \( B \) が可換であることは同値である。\( A \) と \( C \) が正規であり、さらに 0 が \( B \) の固有値の凸包に含まれないと仮定する。このとき次の Marcus–Thompson 定理の証明のスケッチを詳細化せよ：スペクトル分解 \( A = U \Lambda U^*, \ C = U M U^* \) をとる。ただし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), \ M = \mathrm{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)\) である。また \( B' = U^* B U = [\beta_{ij}] \) とおく。このとき \(\beta_{ii} \neq 0\) が成り立ち、さらに

M = U^* C U = \Lambda B' \Lambda^{-1} {B'}^{-1} \\ \Rightarrow \ MB' = \Lambda B' \Lambda^{-1} \\ \Rightarrow \ \mu_i \beta_{ii} = \beta_{ii}

が成り立つ。したがって \( M = I \)、すなわち \( C = I \) である。(2.4.P12(c)) と比較せよ。

2.5.P53 \( U, V \in M_n \) をユニタリ行列とし、さらに \( V \) の全ての固有値が長さ \( \pi \) の開弧上にあると仮定する。このような行列を cramped unitary という。\( C = UVU^*V^* \) を \( U, V \) の乗法的交換子とする。前問を用いて Frobenius の定理を証明せよ：\( U \) が \( C \) と可換であることと \( U \) が \( V \) と可換であることは同値である。

2.5.P54 \( A, B \in M_n \) が正規行列であるとする。このとき次を示せ：(a) \( A \) の零空間は \( A \) の値域と直交する。(b) \( A \) の値域と \( A^* \) の値域は一致する。(c) \( A \) の零空間が \( B \) の零空間に含まれることと、\( A \) の値域が \( B \) の値域を含むことは同値である。

2.5.P55 正規行列に関して (2.2.8) の改良を確認せよ：\( A, B \in M_n \) が正規ならば、\( A \) が \( B \) とユニタリ相似であることと

\mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(B^k), \quad k = 1, 2, \ldots, n

が成り立つことは同値である。

2.5.P56 \( A \in M_n \)、整数 \( k \geq 2 \) を与え、\(\omega = e^{2\pi i/(k+1)}\) とする。このとき \( A^k = A^* \) が成り立つことと、\( A \) が正規であり、そのスペクトルが \(\{0, 1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^k\}\) に含まれることは同値であることを示せ。さらに、もし \( A^k = A^* \) かつ \( A \) が非特異であれば、\( A \) がユニタリであることを説明せよ。

2.5.P57 \( A \in M_n \) とする。(a) \( A \) が正規かつ対称であることと、実直交行列 \( Q \in M_n \) と対角行列 \(\Lambda \in M_n\) が存在して \( A = Q \Lambda Q^T \) と表せることは同値である。(b) \( A \) が正規かつ歪対称であることと、実直交行列 \( Q \in M_n \) が存在して

Q^T A Q = \text{diag}\left(0, \begin{bmatrix}0 & z_j \\ -z_j & 0\end{bmatrix}, \ldots \right), \quad z_j \in \mathbb{C}

とブロック対角化できることは同値である。

2.5.P58 \( A \in M_n \) が正規行列であるとする。このとき \( A\overline{A} = 0 \) が成り立つことと、\( AA^T = A^TA = 0 \) が成り立つことは同値である。(a) (2.5.17) を用いてこれを示せ。(b) 次の別証の詳細を与えよ：\( A\overline{A} = 0 \ \Rightarrow \ 0 = A^* A \overline{A} = A A^* \overline{A} \ \Rightarrow \ A \overline{A^T} A = 0 \ \Rightarrow (A^T A)^*(A^T A) = 0 \ \Rightarrow A^T A = 0 \ (0.2.5.1)\)。

2.5.P59 \( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が正規かつ固有値がすべて異なると仮定する。もし \( AB = BA \) ならば \( B \) も正規であることを示せ。(1.3.P3 と比較せよ)。

2.5.P60 \( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) を与える。(a) \(\max_i |x_i| \leq \|x\|_2\) が成り立つ理由を説明せよ (0.6.1)。 (b) \( e = e_1 + \cdots + e_n \in \mathbb{C}^n \) を成分がすべて1のベクトルとする。もし \( x^T e = 0 \) ならば、

\max_i |x_i| \leq \sqrt{\frac{n-1}{n}} \, \|x\|_2

が成り立つことを示せ。さらに等号成立条件は、ある \( c \in \mathbb{C} \)、ある添字 \( j \) に対して \( x = c (n e_j - e) \) となる場合に限られることを示せ。

2.5.P61 \( A \in M_n \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。(a) 次を示せ：

\max_{i=1,\ldots,n} \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right| \\ \leq \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)}

さらにこれを用いて次を導け：

\max_{i=1,\ldots,n} \left| \lambda_i - \frac{\mathrm{tr} A}{n} \right| \\ \leq \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^*A) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)}

等号成立は \( A \) が正規行列であり、その固有値が \((n-1)c, -c, \ldots, -c\)（ただし \( c \in \mathbb{C} \)）であるときに限られる。(b) この結果が固有値の幾何学的配置について何を意味するかを述べよ。特に \( A \) がエルミートの場合について考察せよ。(c) 行列 \( A \) の spread を

\mathrm{spread}(A) = \max \{ |\lambda - \mu| : \lambda, \mu \in \sigma(A) \}

と定義する。このとき次が成り立つことを説明せよ：

\mathrm{spread}(A) \leq 2 \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^*A) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)}

さらに、\( A \) がエルミートならば

\mathrm{spread}(A) \leq 2 \sqrt{\frac{n-1}{n} \left( \mathrm{tr}(A^2) - \frac{|\mathrm{tr} A|^2}{n} \right)}

下界については (4.3.P16) を参照せよ。

2.5.P62 \( A \in M_n \) がちょうど \( k \) 個の非零固有値を持つとき、\(\mathrm{rank}(A) \geq k\) であることは知られている。\( A \) が正規である場合、なぜ \(\mathrm{rank}(A) = k\) が成り立つのか説明せよ。

2.5.P63 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) が三重対角行列であるとする。もし \( A \) が正規ならば、各 \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して

|a_{i,i+1}| = |a_{i+1,i}|

が成り立つことを示せ。逆はどうか？ (2.5.P38(d)) と比較せよ。

2.5.P64 \( A \in M_n \) に対し、次を示せ：(a) \(\mathrm{rank}(AA^* - A^*A) \neq 1\)。

2.5.P65 \( A \in M_n \) が正規行列であり、\( r \in \{1, \ldots, n\} \) とする。このとき、複合行列 \( C_r(A) \) も正規であることを説明せよ。

2.5.P66 \( A \in M_n \) とする。もし \( A^2 \) が正規であれば、\( A \) を squared normal という。知られている事実として、\( A \) が squared normal であることと、\( A \) が次のようなブロックの直和にユニタリ相似であることは同値である：

[\lambda] \quad \text{または} \quad \tau \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \mu & 0 \end{bmatrix},

ただし \(\tau \in \mathbb{R}, \ \tau > 0, \ \lambda, \mu \in \mathbb{C}, \ |\mu| \lt 1\)。この直和分解はブロックの順序を除き一意である。(2.2.8) を用いて、各 \(2 \times 2\) ブロックはユニタリ相似により次の形にできることを示せ：

\begin{bmatrix} \nu & r \\ 0 & -\nu \end{bmatrix},

ただし \(\nu = \tau \sqrt{\mu} \in D_+, \ r = \tau (1 - |\mu|), \ D_+ = \{ z \in \mathbb{C} : \Re z \gt 0 \} \cup \{ it : t \in \mathbb{R}, t \geq 0 \}\)。結論として、\( A^2 \) が正規であることと、\( A \) が次の形のブロック直和にユニタリ相似であることは同値である：

[\lambda] \quad \text{または} \quad \begin{bmatrix} \nu & r \\ 0 & -\nu \end{bmatrix},

ただし \(\lambda, \nu \in \mathbb{C}, \ r \in \mathbb{R}, \ r \gt 0, \ \nu \in D_+\)。この直和分解もブロックの順序を除き一意であることを説明せよ。

2.5.P67 \( A, B \in M_n \) が正規行列であるとき、\( AB = 0 \) であることと \( BA = 0 \) であることは同値であることを示せ。

2.5.P68 \( A, B \in M_n \) とし、\( B \) が正規であり、かつ \( A \) の零ベクトルがすべて \( B \) の正規固有ベクトルであると仮定する。このとき \( AB = 0 \) であることと \( BA = 0 \) であることは同値であることを示せ。

2.5.P69 \( k \times k \) ブロック行列

M_A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k \in M_{kn}, \quad \\ A_{ij} = \begin{cases} 0 & (i \geq j) \\ I_n & (j = i+1) \end{cases}

を定める。同様に \( M_B = [B_{ij}]_{i,j=1}^k \) を定める。さらに \( W = [W_{ij}]_{i,j=1}^k \in M_{kn} \) を \( M_A, M_B \) に適合するように分割する。(a) もし \( M_A W = W M_B \) ならば、\( W \) はブロック上三角行列であり、かつ \( W_{11} = \cdots = W_{kk} \) であることを示せ。(b) もし \( W \) がユニタリであり \( M_A W = W M_B \)（すなわち \( M_A = W M_B W^* \)）ならば、\( W \) はブロック対角行列であり、\( W_{11} = U \) がユニタリで、\( W = U \oplus \cdots \oplus U \) となり、さらにすべての \( i, j \) について

A_{ij} = U B_{ij} U^*

が成り立つことを示せ。ブロック行列 \( M_A, M_B \) のさらなる性質については (4.4.P46), (4.4.P47) を参照せよ。

2.5.P70 \( n \times n \) 複素行列の組 \((A_1, B_1), \ldots, (A_m, B_m)\) を考える。あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して、各 \( j = 1, \ldots, m \) に対して

A_j = U B_j U^*

が成り立つとき、これらの組は同時にユニタリ相似であるという。次に、\((m+2) \times (m+2)\) ブロック行列 \(N_A = [N_{ij}]_{i,j=1}^k\) を次のように定める：

N_{ij} = \begin{cases} I_n & (j = i+1), \\ A_i & (j = i+2), \\ 0 & (j - i \notin \{1,2\}). \end{cases}

同様にして \(N_B\) を定める。(a) \(N_A\) が \(N_B\) とユニタリ相似であることと、\((A_1, B_1), \ldots, (A_m, B_m)\) が同時にユニタリ相似であることが同値である理由を説明せよ。(b) この性質をもつ他のブロック行列について述べよ。(c) 有限個の同じサイズの複素行列の組に対して、それらが同時にユニタリ相似かどうかを有限回の計算で検証または反証できる理由を説明せよ。

2.5.P71 行列

\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{R})

は実正規行列の議論において重要な役割を果たす。この行列を (3.1.P20) で扱った実表現 \(R_1(A)\) の特別な場合として、その性質を議論せよ。

2.5.P72 行列

A_1 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}

を考える。

(a) 各行列が正規行列であり、かつその複素共役と可換であることを示せ。

(b) 各行列の固有値を求めよ。

(d) \(A_1\) が \(A_2\) と実直交相似ではないことを示せ。

(e) \(A \in M_n\) が正規であり、かつ (2.5.17) の (a) または (b) の条件を満たすとき、\(A\) は零行列と (2.5.17.1) にある4種類のブロックの非零スカラー倍との直和に実直交相似である。どのブロックやスカラー倍が現れるかを決定するためには、固有値だけでなく \(A\) のさらなる情報が必要である理由を説明せよ。

2.5.P73 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が正規で、固有値 \(\lambda = a + ib \ (\lambda \notin \mathbb{R})\) と固有ベクトル \(x\) をもつとする。

(a) 共役複素数 \(\overline{\lambda}, \overline{x}\) も固有対であり、かつ \(x^T x = 0\) が成り立つことを示せ。

(b) \(x = u + iv\) と分解し、\(u, v\) を実ベクトルとする。このとき \(u^T u = v^T v \neq 0\)、かつ \(u^T v = 0\) であることを示せ。

q_1 = \frac{u}{\sqrt{u^T u}}, \quad q_2 = \frac{v}{\sqrt{v^T v}}, \quad \\ Q = [q_1 \ q_2 \ Q_1] \in M_n(\mathbb{R})

ただし \(Q\) は実直交行列である。このとき

Q^T A Q = \begin{bmatrix} B & * \\ 0 & * \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}

が成り立つことを示せ。

(d) (2.3.4b) に依存しない形で (2.5.8) の別証明を与えよ。

2.5.P74 \( A, B, X \in M_n \) とする。

もし \(AX = XB\) であり、かつ \(X\) が正規行列ならば、\(AX^* = X^*B\) が成り立つか？ Fuglede–Putnam の定理 (2.5.16) と比較せよ。

2.5.P75 \( A, B, X \in M_n \) とする。(a) \(AX = XB\) かつ \(XA = BX\) が成り立つことと、

\begin{bmatrix} 0 & X \\ X & 0 \end{bmatrix}

が

\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}

と可換であることが同値であることを示せ。(b) さらに \(X\) が正規行列で、\(AX = XB\) かつ \(XA = BX\) が成り立つとき、次が成り立つことを示せ：

AX^* = X^* B, \quad X^* A = B X^*

2.5.P76 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) の各成分が 0 または 1 であるとし、\( e \in \mathbb{R}^n \) を全ての成分が 1 のベクトル、\( J \in M_n(\mathbb{R}) \) を全ての成分が 1 の行列とする。ここで \( A = [c_1 \ \cdots \ c_n] \)、\(A^T = [r_1 \ \cdots \ r_n]\) と書く。(a) \(Ae\) の成分が行和であると同時に、各行のユークリッドノルムの二乗である理由を説明せよ。同様に \(A^T e\) の成分も解釈せよ。(b) \(A\) が正規であることと、\(Ae = A^T e\) かつ任意の \(i \neq j\) に対して