[行列解析2.4.p8]

2.4.問題8

McCoyの定理の精神に則った観察は、2つの行列がユニタリ相似でないことを示すのに有効な場合がある。

複素係数の2つの非可換変数の多項式 \( p(t, s) \) を考え、行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) がユニタリ相似であり、\( A = U B U^* \) （\( U \) はユニタリ）とする。

なぜ

p(A, A^*) = U p(B, B^*) U^*

となるか説明せよ。

これより、\( A \) と \( B \) がユニタリ相似ならば、任意の複素多項式 \( p(t,s) \) について

\mathrm{tr}\, p(A, A^*) = \mathrm{tr}\, p(B, B^*)

が成立する。

これが (2.2.6) とどのように関連するか説明せよ。