2.4.P8
2.4.問題8
McCoyの定理の精神に則った観察は、2つの行列がユニタリ相似でないことを示すのに有効な場合がある。
複素係数の2つの非可換変数の多項式 \( p(t, s) \) を考え、行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) がユニタリ相似であり、\( A = U B U^* \) （\( U \) はユニタリ）とする。
なぜ
p(A, A^*) = U p(B, B^*) U^*
となるか説明せよ。
これより、\( A \) と \( B \) がユニタリ相似ならば、任意の複素多項式 \( p(t,s) \) について
\mathrm{tr}\, p(A, A^*) = \mathrm{tr}\, p(B, B^*)
が成立する。
これが (2.2.6) とどのように関連するか説明せよ。
2つの行列 \(A, B \in M_n\) がユニタリ相似であるのは、2つの非可換変数に関する任意の単語(Word) \(W(s,t) \) に対して\( \mathrm{tr} W(A,A^∗) = \mathrm{tr} W(B,B^∗) \)が成り立つ場合に限る。
ヒント
行列 \( A \) と \( B \) がユニタリ相似であるとき、\( A = U B U^* \) と書ける。
このとき \( A^* = (U B U^*)^* = U B^* U^* \) となるため、\( A \) と \( A^* \) の積や和で構成される任意の「単語」や「多項式」においても、同様のユニタリ行列による共役関係が保たれる。
行列のトレースは相似変換によって不変であるという性質を利用して、すべての単語に対するトレースの一致がユニタリ相似性を特徴づけることを考察する。
定理 2.4.8.7 (McCoy).
m≥2\(m \geq 2\) とし、\(A_1,\ldots,A_m \in M_n\) が与えられているとする。
次は同値である：
(a) 任意の \(m\) 個の非可換変数に関する多項式 \(p(t_1,\ldots,t_m)\) と任意の \(k,\ell=1,\ldots,m\) に対して、\(p(A_1,\ldots,A_m)(A_kA_\ell - A_\ell A_k)\) は冪零である。
(b) あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して、各 \(i=1,\ldots,m\) に対して \(U^*A_iU\) が上三角行列である。
(c) 各 \(i=1,\ldots,m\) に対して、その固有値の順序付け \(\lambda^{(i)}_1,\ldots,\lambda^{(i)}_n\) が存在して、任意の \(m\) 個の非可換変数に関する多項式 \(p(t_1,\ldots,t_m)\) に対して、\(p(A_1,\ldots,A_m)\) の固有値は
p(\lambda^{(1)}_i, \ldots, \lambda^{(m)}_i), \quad i=1,\ldots,n
で与えられる。
解答例
まず、\( A = U B U^* \) （\( U \) はユニタリ行列）と仮定する。このとき、随伴行列の性質より次が成り立つ。
A^* = (U B U^*)^* = (U^*)^* B^* U^* = U B^* U^*
多項式 \( p(t, s) \) を構成する任意の単語（項）、例えば \( t s t \) について考えると、
\begin{aligned}A A^* A
&= (U B U^*)(U B^* U^*)(U B U^*) \\
&= U B (U^* U) B^* (U^* U) B U^* \\
&= U (B B^* B) U^*
\end{aligned}となる。ユニタリ行列の性質 \( U^* U = I \) により、積の間に現れるユニタリ行列が次々と打ち消し合うため、どのような非可換多項式 \( p(t, s) \) に対しても次の関係が得られる。
p(A, A^*) = U p(B, B^*) U^*
行列のトレースは相似変換 \( M \mapsto X M X^{-1} \) に対して不変である。よって、
\mathrm{tr}\, p(A, A^*) = \mathrm{tr}(U p(B, B^*) U^*) = \mathrm{tr}\, p(B, B^*)が任意の多項式 \( p \) について成立する。
この事実は、Spechtの定理と密接に関連している。
Spechtの定理は、「2つの行列 \( A, B \) がユニタリ相似であるための必要十分条件は、\( A, A^* \) に関するすべての単語 \( W(A, A^*) \) のトレースが \( B, B^* \) に関する対応する単語のトレースと一致することである」と述べている。
本問で示した多項式のトレースの一致は、この定理の「必要性」そのものである。
すべての多項式における一致は、個々の単語（単項式）における一致を包含しており、行列の性質を決定づける不変量の集合が一致していることを意味する。
McCoyの定理が同時三角化可能性という「構造」を固有値という「スカラー情報」で判定するように、Spechtの定理（および本問の観察）はユニタリ相似という「構造」をトレースという「スカラー情報」の集積によって判定しているのである。
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