[行列解析2.4.p7]交換子の固有値による同時上三角化可能性の判定

2.4.問題7

(2.4.8.4)の行列

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

\( A, B \in M_n \) が与えられ、両者が同時に上三角化可能のとき\( AB - BA \) のすべての固有値が 0 である

(2.3.P6) の判定法を用いて、(2.4.8.4) の2つの行列が同時に上三角化できないことを示せ。

(2.4.p6)の行列

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

また同じ検査を (2.4.P6) の2つの行列に適用せよ。

2つの行列 \( A, B \) が同時に上三角化可能であれば、それらの交換子 \( AB - BA \) はべき零行列となり、そのすべての固有値は \( 0 \) となる。

この性質の対偶を用いることで、\( AB - BA \) が \( 0 \) でない固有値を持つ場合、その2つの行列は同時に上三角化可能ではないと結論付けることができる。

まず、(2.4.8.4) の行列 \( A, B \) について交換子 \( C = AB - BA \) を計算する。

AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\ BA = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\\ C = AB - BA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

行列 \( C \) は対角行列であり、その固有値は \( 1, -2, 1 \) である。固有値に \( 0 \) 以外の値が含まれるため、判定法より (2.4.8.4) の行列は同時に上三角化可能ではない。

次に、(2.4.P6) の行列 \( A, B \) について同様の計算を行う。

AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -2 & -4 & -2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}\\ BA = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ -1 & -4 & -3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\\ C' = AB - BA = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -4 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}

行列 \( C' \) の固有多項式 \( \det(\lambda I - C') \) を計算する。

\begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 4 \\ 1 & \lambda & -1 \\ -2 & -1 & \lambda \end{pmatrix} \\ &= \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 2) + 4(-1 + 2\lambda) \\ &= \lambda^3 + 7\lambda + 2 \end{aligned}

この固有多項式において、定数項が \( 2 \) であることから、\( \lambda = 0 \) は固有値ではない（固有値の積が \( -2 \) である）。

したがって、\( C' \) は \( 0 \) でない固有値を持ち、(2.4.P6) の行列も同時に上三角化可能ではないことが示された。