2.4.P6
2.4.問題6
以下の行列を考える。
A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}, \quad
B =
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 2 \\
-1 & -2 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
すべてのスカラー \( a, b \in \mathbb{C} \) に対して、スペクトルは
\sigma(aA + bB) = \{ a - 2b, \; 2a - 2b, \; 3a + b \}
であるが、\( A \) と \( B \) は同時に上三角行列に相似変換できない。\( AB \) の固有値は何か？
ヒント
行列 \( A \) と \( B \) が同時に三角化可能であるための必要十分条件は、任意の複素数 \( a, b \) に対して、\( aA + bB \) の固有値が \( a \lambda_i + b \mu_i \) （\( \lambda_i, \mu_i \) はそれぞれ \( A, B \) の固有値）という形で対応づけられることである。
本問では、線形結合の固有値の集合が与えられているが、この対応が特定の順序で固定されているかが重要となる。
また、行列の積 \( AB \) の固有値を求めるには、直接 \( AB \) を計算してその固有多項式を解く手法が確実である。
解答例
まず、行列の積 \( AB \) を直接計算する。
\begin{aligned}
AB
&=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -2 & -4 & -2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}
\end{aligned}この行列 \( AB \) の固有値を求めるため、固有多項式 \( p(\lambda) = \det(\lambda I - AB) \) を計算する。
\begin{aligned}
&\det \begin{pmatrix} \lambda + 2 & -1 & -2 \\
2 & \lambda + 4 & 2 \\
-3 & -3 & \lambda - 3 \end{pmatrix}
\\
&= (\lambda + 2) \{ (\lambda + 4)(\lambda - 3) + 6 \} + 1 \{ 2(\lambda - 3) + 6 \} - 2 \{ -6 + 3(\lambda + 4) \} \\
&= (\lambda + 2)(\lambda^2 + \lambda - 6) + 2\lambda - 2(3\lambda + 6) \\
&= \lambda^3 + 3\lambda^2 - 4\lambda - 12 + 2\lambda - 6\lambda - 12 \\
&= \lambda^3 + 3\lambda^2 - 8\lambda - 24 \end{aligned}この多項式を因数分解すると以下のようになる。
\lambda^2(\lambda + 3) - 8(\lambda + 3) = (\lambda^2 - 8)(\lambda + 3) = 0
したがって、\( AB \) の固有値は \( \lambda = -3, \pm 2\sqrt{2} \) である。
問題文で与えられた \( \sigma(aA + bB) = \{ a - 2b, 2a - 2b, 3a + b \} \) という条件は、一見すると \( A \) と \( B \) が共通の固有ベクトルを持ち、同時に三角化可能である（ McCoy の定理の条件を満たしている）ように見える。
しかし、本問の計算結果からわかる通り、積の固有値は \( A \) の固有値 \( \{1, 2, 3\} \) と \( B \) の固有値 \( \{-2, -2, 1\} \) の対応する積の集合 \( \{ -2, -4, 3 \} \) とは一致しない。
このことは、\( A \) と \( B \) が同時上三角化可能でないという事実と整合している。
実際、同時上三角化可能であれば \( AB \) の固有値は対角成分の積となるはずであるが、本問ではそうなっていない。
結論として、\( AB \) の固有値は以下の通りである。
\sigma(AB) = \{ -3, 2\sqrt{2}, -2\sqrt{2} \}
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