2.4.P4
2.4.問題4
行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) が交換する（すなわち \( AB = BA \)）と仮定する。
なぜ \( B \) が \(\mathrm{adj}\, A\) と交換し、また \(\mathrm{adj}\, A\) が \(\mathrm{adj}\, B\) と交換するか説明せよ。
さらに、\( A \) が正則であれば、\( B \) が \( A^{-1} \) とも交換することを導け。
ヒント
行列 \( A \) の余因子行列 \( \mathrm{adj}\, A \) は、行列 \( A \) の多項式として表すことができる。
この行列多項式表現を利用することで、\( A \) と交換する行列 \( B \) が \( \mathrm{adj}\, A \) とも交換すること、および \( \mathrm{adj}\, A \) と \( \mathrm{adj}\, B \) の可換性を示す。
逆行列については、正則行列の逆行列が多項式表現を持つこと、または定義式 \( A A^{-1} = I \) の両辺に \( B \) を作用させることで証明する。
解答例
まず、行列 \( B \) が \( \mathrm{adj}\, A \) と交換することを示す。 ケイリー・ハミルトンの定理から導かれる \( \mathrm{adj}\, A \) の行列多項式表現（前問 (f) 参照）を用いる。
\mathrm{adj}\, A = (-1)^{n-1} (A^{n-1} + a_{n-1} A^{n-2} + \cdots + a_1 I)仮定 \( AB = BA \) より、任意の正の整数 \( k \) に対して \( A^k B = B A^k \) が成り立つ。また、スカラー行列 \( a_i I \) も \( B \) と交換可能である。したがって、\( \mathrm{adj}\, A \) は \( A \) の多項式であるため、次のように \( B \) と交換する。
B (\mathrm{adj}\, A) = B f(A) = f(A) B = (\mathrm{adj}\, A) B同様に、\( \mathrm{adj}\, B \) は \( B \) の行列多項式である。\( \mathrm{adj}\, A \) は \( B \) と交換するため、\( B \) の多項式である \( \mathrm{adj}\, B \) とも交換する。よって \( (\mathrm{adj}\, A)(\mathrm{adj}\, B) = (\mathrm{adj}\, B)(\mathrm{adj}\, A) \) が成り立つ。
次に、\( A \) が正則であるとき \( B \) が \( A^{-1} \) と交換することを示す。 \( AB = BA \) の両辺に左から \( A^{-1} \) 、右から \( A^{-1} \) を掛ける。
\begin{aligned}
A^{-1} (AB) A^{-1} &= A^{-1} (BA) A^{-1} \\
(A^{-1} A) (B A^{-1}) &= (A^{-1} B) (A A^{-1}) \\
I B A^{-1} &= A^{-1} B I \\
B A^{-1} &= A^{-1} B
\end{aligned}したがって、\( A \) が正則であれば \( B \) は \( A^{-1} \) と交換する。
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