[行列解析2.4.p32]交換子のトレースは常に零となる

2.4.P32

2.4.問題32

\( A, B \in \mathbb{M}_n \)、\( C = AB - BA \) とする。なぜ

\operatorname{tr} C \neq 0

であることはありえないか説明せよ。特に、\( c \neq 0 \) のとき \( C = c I \) は不可能であることを示せ。

トレースの基本性質 \( \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \) を用いる。これを \( C = AB - BA \) に適用して考えるとよい。

\( A, B \in \mathbb{M}_n \) とし、\( C = AB - BA \) と定める。トレースの循環性より、任意の行列 \( A, B \) に対して

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)

が成り立つ。したがって、

\operatorname{tr} C = \operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0

となる。よって、\( \operatorname{tr} C \neq 0 \) となることはありえない。

特に、\( c \neq 0 \) として \( C = c I \) であると仮定すると、

\operatorname{tr} C = \operatorname{tr}(c I) = c n

となり、これは \( c \neq 0 \) ならば零ではない。しかし上で示したように \( \operatorname{tr} C = 0 \) でなければならないため矛盾する。したがって、\( c \neq 0 \) のとき \( C = c I \) となることは不可能である。