[行列解析2.4.p30]多項式の除法と行列多項式の簡約

2.4.P30

2.4.問題30

\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( p(t) \) を次数が \( n \) より大きい多項式とする。ユークリッドの互除法（多項式の割り算）を用いて、

p(t) = h(t) p_A(t) + r(t)

ただし、\( r(t) \) の次数は \( n \) 未満（0の場合もあり得る）と表せることを説明せよ。このときなぜ

p(A) = r(A)

が成り立つかを説明せよ。

多項式のユークリッドの互除法により、任意の多項式 \( p(t) \) は特性多項式 \( p_A(t) \) で割った商と余りに分解できる。

ケイリー–ハミルトンの定理より \( p_A(A) = 0 \) が成り立つことを用いる。

\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( p(t) \) を次数が \( n \) より大きい多項式とする。

\( p_A(t) \) を行列 \( A \) の特性多項式とすると、\( \deg p_A(t) = n \) である。

多項式環におけるユークリッドの互除法により、ある多項式 \( h(t) \)、\( r(t) \) が存在して

p(t) = h(t) p_A(t) + r(t)

と表せる。ただし、\( r(t) \) の次数は \( n \) 未満であり、零多項式の場合も含む。

この等式において \( t \) を行列 \( A \) に置き換えると、行列多項式の定義より

p(A) = h(A) p_A(A) + r(A)

を得る。ここでケイリー–ハミルトンの定理より \( p_A(A) = 0 \) が成り立つため、

p(A) = r(A)

が従う。すなわち、次数が \( n \) 以上の多項式で定義される行列多項式は、次数が \( n \) 未満の多項式によって同じ行列として表される。