2.4.P28
2.4.問題28
\( A \in \mathbb{M}_n \) が特異行列で、\( r = \mathrm{rank} A \) とする。このとき次数が高々 \( r+1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \( p(A) = 0 \) を満たすことを示せ。
ヒント
\( A \) が特異行列であるとき、階数 \( r = \mathrm{rank} A \) を用いて \( A \) を積 \( A = B C \) の形に分解できることに着目する。ここで \( B \in \mathbb{M}_{n,r} \)、\( C^T \in \mathbb{M}_{n,r} \) とすれば、前問と同様にケイリー–ハミルトンの定理を適用できる。
解答例
\( A \in \mathbb{M}_n \) を特異行列とし、\( r = \mathrm{rank} A \) とする。このとき、線形代数の基本事実より、ある行列 \( B \in \mathbb{M}_{n,r} \)、\( C \in \mathbb{M}_{r,n} \) が存在して \( A = B C \) と表せる。
ここで \( C^T \in \mathbb{M}_{n,r} \) であるから、前問の結果を \( k = r \) として適用できる。すなわち、次数が高々 \( r+1 \) の多項式 \( q(t) \) が存在して
q(A) = 0
を満たす。よって、\( p(t) = q(t) \) とおけば、次数が高々 \( r+1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \( p(A) = 0 \) が成り立つことが示された。
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