2.4.P27
2.4.問題27
\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( A = B C \)、かつ \( B, C^{\top} \in \mathbb{M}_{n,k} \) とする。
このとき、ケイリー–ハミルトンの定理(2.4.3.2) を用いて次数が高々 \( k+1 \) の多項式 \( q(t) \) が存在して \( q(A) = 0 \) を満たすことを示せ。
ヒント
行列 \( A=BC \) に対して、積の順序を入れ替えた \( CB \) は小さいサイズの正方行列になる。前問の結果を用いて \( A \) の多項式を \( BC \) と \( CB \) の関係に書き換え、次数の低い多項式が存在することを示す。最後にケイリー–ハミルトンの定理を適用する。
解答例
仮定より \( A=BC \) であり、\( B \in \mathbb{M}_{n,k} \)、\( C^{\top} \in \mathbb{M}_{n,k} \) であるから、\( C \in \mathbb{M}_{k,n} \) である。このとき \( CB \in \mathbb{M}_k \) は \( k \times k \) 行列である。
ケイリー–ハミルトンの定理より、\( CB \) の特性多項式を \( p(t) \) とすると、次数が高々 \( k \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \( p(CB)=0 \) が成り立つ。
ここで前問の結果より、任意の多項式 \( p(t) \) に対して \( BC\, p(BC)=B\, p(CB)\, C \) が成り立つ。これを用いると \( B\, p(CB)\, C = 0 \) となるので、
BC\, p(BC)=0
すなわち \( A\, p(A)=0 \) である。
ここで \( q(t)=t\,p(t) \) とおくと、\( q(t) \) は次数が高々 \( k+1 \) の多項式であり、
q(A)=A\,p(A)=0
が成り立つ。よって、次数が高々 \( k+1 \) の多項式 \( q(t) \) が存在して \( q(A)=0 \) を満たすことが示された。
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