[行列解析2.4.p26]行列積と多項式の交換関係

2.4.P26

2.4.問題26

\( B \in \mathbb{M}_{n,k} \), \( C \in \mathbb{M}_{k,n} \) とする。任意の多項式 \( p(t) \) について次を示せ。

B C p(B C) = B p(C B) C

まず単項式 \( p(t)=t^m \) の場合に等式を示し、その後に多項式の線形性を用いて一般の多項式へ拡張するとよい。積 \( BC \) と \( CB \) のべきの構造に注目する。

まず多項式が単項式 \( p(t)=t^m \) の場合を示す。\( m=0 \) のときは \( p(t)=1 \) であり、 \( B C p(B C)=BC \), \( B p(C B) C = B I C = BC \) となるので等式は成り立つ。

次に \( m \ge 1 \) とする。このとき \( (BC)^m = B (CB)^{m-1} C \) が成り立つ。

実際、帰納法により
\( (BC)^{m+1} = (BC)^m BC = B (CB)^{m-1} (CB) C = B (CB)^m C \) が従う。

したがって

BC (BC)^m = B (CB)^{m+1} C

すなわち \( BC\, p(BC) = B\, p(CB)\, C \) が単項式の場合に成り立つ。

一般の多項式 \( p(t) = \sum_{m=0}^M a_m t^m \) については、多項式の線形性より

BC\, p(BC) = \sum_{m=0}^M a_m\, BC (BC)^m = \sum_{m=0}^M a_m\, B (CB)^{m+1} C = B\, p(CB)\, C

が得られる。よって任意の多項式 \( p(t) \) に対して \( BC\, p(BC) = B\, p(CB)\, C \) が成り立つことが示された。