2.4.問題25
2.4.P25
\( A, B \in \mathbb{M}_2 \)、\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \lambda_2 \) とする。
1.
\( A \) は次の形の行列にユニタリ相似であることを示せ。
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & x \\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix}, \quad \\
x \geq 0, \quad x^2 = \operatorname{tr} (A A^*) - |\lambda_1|^2 - |\lambda_2|^2
2.
\( A \) が \( B \) とユニタリ相似であることは、次がすべて成立するときに限ることを示せ。
\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B, \quad \operatorname{tr} A^2 = \operatorname{tr} B^2, \quad \\
\operatorname{tr} A A^* = \operatorname{tr} B B^*
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