[行列解析2.4.p22]

2.4.問題22

\( A \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( \mu_1, \ldots, \mu_d \)（重複度はそれぞれ \( \nu_1, \ldots, \nu_d \)）を持つとする。モーメント行列の次数 \( m \) を

K_m = [\operatorname{tr} A^{i+j-2}]_{i,j=1}^m

とし、\( m=1,2,\ldots \)、かつ \( m \leq n \) の場合は前問題のモーメント行列 \( K \) の先頭主部分行列とする。ベクトルを

v^{(m)}_j = [1, \mu_j, \mu_j^2, \ldots, \mu_j^{m-1}]^T, \quad j=1,\ldots,d

と定め、行列

V_m = [v^{(m)}_1, \ldots, v^{(m)}_d]

を作る。また対角行列 \( D = \mathrm{diag}(\nu_1, \ldots, \nu_d) \in \mathbb{M}_d \) とする。

\( m \leq d \) のとき \( V_m \) の行ランクは \( m \)、\( m \geq d \) のとき列ランクは \( d \) であることを示せ。
\( K_m = V_m D V_m^T \) であることを示せ。
\( 1 \leq p < q \) のとき、\( K_p \) は \( K_q \) の先頭主部分行列であることを示せ。
\( K_d \) は正則（非特異）であることを示せ。
\( m \geq d \) のとき、\( \mathrm{rank} K_m = d \) であることを示せ。
\( d = \max \{ m \geq 1 : K_m \text{ は正則} \} \) であるが、\( p < d \) のとき \( K_p \) が特異である場合もあることを示せ。
\( K_d \) は正則で、\( K_{d+1}, \ldots, K_n, K_{n+1} \) はすべて特異であることを示せ。
\( K_n = K \) は前問題のモーメント行列であることを示せ。
\( \mathrm{rank} K \) は \( A \) の異なる固有値の個数に等しいことを示せ。

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)