[行列解析2.4.p20]

2.4.問題20

2.4.P20

\( A, B \in \mathbb{M}_n \) で \( AB = 0 \) とし、\( C = AB - BA = -BA \) とする。2つの非可換変数の多項式 \( p(s,t) \) を考える。

1. \( p(0,0) = 0 \) のとき、\( A p(A,B) B = 0 \) であり、したがって \( (p(A,B) C)^2 = 0 \) であることを示せ。
2. \( C^2 = 0 \) を示せ。
3. (2.4.8.7) を用いて、\( A \) と \( B \) が同時に上三角化可能であることを示せ。

4. 行列

\begin{pmatrix}
-3 & 3 \\
-4 & 4
\end{pmatrix}
\quad \text{と} \quad
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & -1
\end{pmatrix}

は同時に上三角化可能か？

[行列解析2.4]シュールの三角化定理の帰結

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2025.08.24