[行列解析2.4.p19]ブロック行列の同時上三角化の同値条件

2.4.P19

2.4.問題19
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2.4.問題19

\( n \geq 3 \), \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) とする。

\( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_n \), \( B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_n \)、
ただし \( A_{11}, B_{11} \in \mathbb{M}_k \)、\( A_{22}, B_{22} \in \mathbb{M}_{n-k} \) とする。
このとき、\( A, B \) が同時に上三角化可能であることは、
(i) \( A_{11}, B_{11} \) が同時に上三角化可能であること、かつ
(ii) \( A_{22}, B_{22} \) が同時に上三角化可能であることと同値であることを示せ。
\( m \geq 3 \)、集合 \( F = \{ A_1, \ldots, A_m \} \subset \mathbb{M}_n \) を考え、
各 \( A_j = \begin{pmatrix} A_{j1} & A_{j2} \\ 0 & A_{j3} \end{pmatrix} \) で
\( A_{j1} \in \mathbb{M}_k \) とする。
このとき、\( F \) が同時に上三角化可能であることは、
集合 \( \{ A_{11}, \ldots, A_{m1} \} \) と
\( \{ A_{13}, \ldots, A_{m3} \} \) が
それぞれ同時に上三角化可能であることと同値であることを示せ。

ヒント

同時に上三角化可能であるとは、ある正則行列 \( P \) によってすべての行列が同時に上三角行列へ相似変換できることを意味する。

与えられた行列は上三角ブロック形をしているため、相似変換としてブロック対角行列を用いることを考えると、対角ブロックごとの同時上三角化との関係が明確になる。

解答例

まず、行列 \( A,B \) が同時に上三角化可能であると仮定する。このとき、ある正則行列 \( P \in \mathbb{M}_n \) が存在して、

P^{-1} A P,\; P^{-1} B P

がともに上三角行列となる。ここで \( A,B \) はともに上三角ブロック行列であるから、共通不変部分空間として次元 \( k \) の部分空間が存在し、それに対応して \( P \) を適切に取り直すことで、\( P \) はブロック対角行列 \( P = \begin{pmatrix} P_1 & 0 \\ 0 & P_2 \end{pmatrix} \) と仮定してよい。

このとき、

P^{-1} A P = \begin{pmatrix} P_1^{-1} A_{11} P_1 & * \\ 0 & P_2^{-1} A_{22} P_2 \end{pmatrix}\\ P^{-1} B P = \begin{pmatrix} P_1^{-1} B_{11} P_1 & * \\ 0 & P_2^{-1} B_{22} P_2 \end{pmatrix}

となる。これらが上三角行列であるためには、特に対角ブロック \( P_1^{-1} A_{11} P_1, P_1^{-1} B_{11} P_1 \) および \( P_2^{-1} A_{22} P_2, P_2^{-1} B_{22} P_2 \) がそれぞれ上三角行列でなければならない。したがって \( A_{11}, B_{11} \) は同時に上三角化可能であり、同様に \( A_{22}, B_{22} \) も同時に上三角化可能である。

逆に、\( A_{11}, B_{11} \) が同時に上三角化可能であり、かつ \( A_{22}, B_{22} \) も同時に上三角化可能であると仮定する。このとき、正則行列 \( P_1 \in \mathbb{M}_k \)、\( P_2 \in \mathbb{M}_{n-k} \) が存在して、

P_1^{-1} A_{11} P_1,\; P_1^{-1} B_{11} P_1,\; P_2^{-1} A_{22} P_2,\; P_2^{-1} B_{22} P_2

がすべて上三角行列となる。ここで \( P = \begin{pmatrix} P_1 & 0 \\ 0 & P_2 \end{pmatrix} \) とおくと、

P^{-1} A P = \begin{pmatrix} P_1^{-1} A_{11} P_1 & * \\ 0 & P_2^{-1} A_{22} P_2 \end{pmatrix}\\ P^{-1} B P = \begin{pmatrix} P_1^{-1} B_{11} P_1 & * \\ 0 & P_2^{-1} B_{22} P_2 \end{pmatrix}

はいずれも上三角行列となる。したがって \( A,B \) は同時に上三角化可能である。

次に、\( m \geq 3 \) とし、集合 \( F = \{A_1,\ldots,A_m\} \subset \mathbb{M}_n \) を考える。各 \( A_j = \begin{pmatrix} A_{j1} & A_{j2} \\ 0 & A_{j3} \end{pmatrix} \) とする。

上と同様の議論を各 \( A_j \) に同時に適用すると、\( F \) が同時に上三角化可能であることは、ある共通の正則行列 \( P = \begin{pmatrix} P_1 & 0 \\ 0 & P_2 \end{pmatrix} \) によってすべての \( A_j \) が同時に上三角行列へ相似変換できることと同値である。

この条件は、対角ブロックに注目すると、集合 \( \{A_{11},\ldots,A_{m1}\} \subset \mathbb{M}_k \) が同時に上三角化可能であり、かつ集合 \( \{A_{13},\ldots,A_{m3}\} \subset \mathbb{M}_{n-k} \) が同時に上三角化可能であることと同値である。

以上より、問題の主張はいずれも成り立つ。